Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
* + * = —/„ при х>0, \ X -}- X = -[- /о при X 0, J
где /о — наибольшая сила трения покоя, деленная на коэффициент упругости пружины осциллятора. На фазовой плоскости, как мы уже видели, фазовые траектории будут спиралями, составленными из кусков полуэллипсов или в нашем случае (в силу выбора единиц) из кусков полуокружностей; центром полуокружностей в верхней полуплоскости является точка (— /0, 0), а в нижней — точка (-}- /0> 0).
Добавив мгновенные удары, мы получим ударную модель часов с кулоновским трением. Пусть спусковое устройство наносит колебательной системе (балансиру часов) один удар за колебание. Для простоты рассмотрения мы несколько «перенесем» место удара и будем считать, что удар происходит в момент, когда балансир проходит
в положительном направлении через точку X=—/о, а не через точку х=0.
Рассмотрим сначала первое предположение относительно закона удара: положим, что
/Tiv1 — Wf0 = const,
или, пользуясь обозначениями фазовой плоскости,
Ay = а. (3.33)
Чтобы ответить на вопрос о характере возможных движений в этом случае, мы рассмотрим характер траекторий на фазовой плоскости и найдем функцию последования для скоростей балансира непосредственно после ударов. Пусть скорость балансира непосредственно после удара равна v{, точка A1, изображающая ее состояние, имеет координаты (— /0, V1). Отсюда изображающая точка, как мы только что отмечали, будет двигаться по окружности с центром в точке (—/0, 0) и с радиусом ^1 = H1 (рис. 132). Дойдя до полуоси положительных X, она или попадет на отрезок покоя (—/0 =? х^ 4~/о>§ 4] ТЕОРИЯ ЧАСОВ. МОДЕЛИ С УДАРАМИ
205
j/ = 0), состоящий из состояний равновесия (это будет при R1 sg 2/0), или же (при R1 = Xf1 2/0) перейдет в нижнюю полуплоскость и будет там двигаться (без скачков) по полуокружности с центром в точке (-(-/о, 0), радиус которой равен Ri = R1 — 2/(> = v1— 2/0. Если то изображающая точка все же попадет на отрезок
покоя (на этот раз — снизу). Только при Ri^>2f(>, т. е. при Xi1 4/0, изображающая точка перейдет на верхнюю полуплоскость и будет там двигаться по четверти окружности, центром которой снова
является точка (—/0, 0), а радиус равен Ri = Ri — 2Zfj = V1 — 4/0, пока не придет на «полупрямую ударов» (лг = —/0, _у^>0) в точке B1 с ординатой
Vi=V1 — 4/0. (3.34)
В этом состоянии колебательной системе наносится подталкивающий мгновенный удар, в результате чего скорость у мгновенно увеличивается на величину а, и изображающая точка скачком переходит в точку Л2(—/о, г>2), где
г»2 = г»;= —4/0 + а (г>!>4/0). (3.35)
Соотношение (3.35) и есть искомая функция последования, определяющая по заданной скорости системы H1 после удара (H1 4/0) скорость Ii3 непосредственно после следующего удара. Очевидно, последовательность скоростей U1, г»2, г>3, V1,... после удара1 206
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IlI
составляет арифметическую прогрессию с общим членом t>„ = t>i-f (л — 1)(а — 4/о).
Легко видеть, что характер возможных движений в нашей системе зависит от знака а — 4/0.
Случай I. а — 4/0<^0. В этом случае (рис. 133), каковы бы ни были начальные условия, колебания системы будут затухать, и изображающая точка после конечного числа размахов дойдет до отрезка состояний равновесия, простирающегося на /0 в обе стороны от начала координат.
Случай II. а — 4/0^>0. В этом случае фазовая плоскость может быть разбита на две области с различными характерами возможных
движений. Именно, если в начальный момент представляющая точка находится внутри области аь bu C1 (рис. 134), то система в конечное время дойдет до отрезка состояний равновесия; колебания системы прекратятся. Если же начальные условия соответствуют точкам, лежащим вне этой области или на границе, колебания системы будут неограниченно нарастать.
Случай III. а—4/0 = 0. В этом идеальном случае полного равенства фазовая плоскость также может быть разбита на две части с различным характером возможных движений. Если начальные условия лежат внутри области а1г bb C1 (рис. 135), то изображающая
¦X
Рис. 134.§ 4]
ТЕОРИЯ ЧАСОВ. МОДЕЛИ С УДАРАМИ
207
точка придет, еще не успев сделать полного оборота, к отрезку состояний равновесия. Если же начальные значения лежат вне этой области, то все движения суть периодические, с амплитудой, которая определяется начальными условиями.
В этом последнем случае мы имеем дело с континуумом периодических движений, т. е. с обстоятельством, характерным для консервативной системы. Но как и всякая консервативная система, наша система неустойчива по отношению к малым изменениям параметров. Достаточно, например, немного изменить величину /0, чтобы прийти к случаю I или II, т. е. к существенно иной картине.
Мы видим, таким образом, что принятая нами на этот раз идеализация закона трения и закона удара не отображает наиболее существенной черты реальных часов, именно того, что в часах возможны периодические движения только с вполне определенной амплитудой, не зависящей от начальных условий. Достаточно, однако, изменить допущение о характере ударов, сохранив предположение о характере сил трения, чтобы снова получить систему, способную совершать периодическое движение только с одной, вполне определенной амплитудой. Примем снова, что при ударе спусковой механизм сообщает системе одну и ту же кинетическую энергию, т. е. положим, что