Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
2. Ламповый генератор с контуром в цепи сетки в случае /-характеристики. Мы рассматривали в теории часов удары, которые мгновенно изменяли количество движения и энергию системы. Аппарат, создававший эти удары, развивал бесконечно большую мощность, мгновенно отдавая определенные порции энергии. Естественен вопрос, применима ли такая идеализация при рассмотрении электрических колебательных систем. Покажем, что аналогичное положение вещей встречается и в электрических системах. Предположим, например, что в генераторе с колебательным контуром в цепи сетки (в дальнейших рассуждениях мы, как и обычно, пренебрегаем реакцией анода и сеточным током) устанавливаются настолько большие синусоидальные колебания, что напряжение на сетке далеко заходит как в область, где анодный ток нуль, так и в область насыщения. Но если в контуре происходит синусоидальный колебательный процесс, то напряжение на сетке V (рис. 131) дважды за период меняет знак. Когда v проходит через нуль в положительном направлении, анодный ток чрезвычайно быстро (т. е. в течение времени т, очень малого по сравнению с периодом колебаний Т) переходит от значения пуль
к значению Is. За время т э. д. с. индукции M^ очень быстро нарастает от значения нуль, которое она имела прежде (когда ia = 0), 1 202
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IlI
до некоторого очень большого значения, а затем, когда Ia становится равным Is, примерно так же быстро спадает до нуля. Когда v проходит через нуль в отрицательном направлении, анодный ток чрезвычайно быстро изменяется от значения Js до нуля. При этом э. д. с. индукции очень быстро изменяется от значения нуль до некоторого очень большого (по абсолютной величине) отрицательного значения, а затем снова очень быстро принимает значение нуль. Таким образом, на контур в этом случае действуют кратковременные э. д. е., достигающие очень большой величины, и притом тем большей, чем круче изменяется анодный ток от нуля до Is при увеличении V. Если мы" примем, что этот переход происходит скачком (/-характеристика), то нам придется иметь дело с мгновенной бесконечно большой э. д. с. Нетрудно видеть, что здесь мы имеем полную аналогию с рассмотренным нами случаем часов, когда на колеблющуюся массу действует в надлежащие моменты мгновенный импульс, сообщающий этой массе фиксированное количество движения.
В механике можно рассматривать действие силы fit), отличной от нуля в течение достаточно малого промежутка времени т, как мгновенный удар, изменяющий скачком количество движения тх (речь идет о простейшем прямолинейном движении) на величину Д (тх) = t+ *
= J f(t)dt. Аналогично можно считать, что если э. д. с. индукции t
% = M отлична от нуля лишь в течение достаточно малого промежутка времени, то она вызывает быстрое, в пределе (при т ->¦ 0) скачкообразное изменение потока индукции Lq на величину
< + * t + r
Д (Lq)= J Ш dt= I M^dt = M[ia(t + ^)-ia(t)] = MMa,
где t и ^ -j- т — моменты начала и конца изменения анодного тока Ia. В момент скачка потока индукции сама координата q (заряд конденсатора) не меняется, так что скачок (так же как и удар в механическом случае) не нарушает непрерывности изменений координаты.
Для доказательства сформулированного закона скачка достаточно проинтегрировать уравнение лампового генератора с контуром в цепи сетки (1.62)
LCv + RCii+V = M^
?
R
іЛЛА-
X
с =P 0-§
JL
Рис. 131.
§ 4] ТЕОРИЯ ЧАСОВ. МОДЕЛИ С УДАРАМИ
203
по времени за интервал от t до t + т, в течение которого происходит изменение анодного тока от 0 до Is (или от Is до 0). Тогда получим:
IC[®(f + x) —®(f)] +ЯС[®(<+ *) — ®(f)] + ^ Vdt= j M^fdt.
При предельном переходе к !-характеристике интервал сеточных напряжений г», на котором происходит изменение анодного тока, стремится к нулю, Т. е. V (t -(- т) —>~ V (t), стремится к нулю и время т, в течение которого этот интервал проходится системой. Поэтому
1V
\ vdt-*- О
и
LC [V (t + т) — V (0] -*- j M^dt = MMa
Д (Lq) MMa.
При переходе напряжения на сетке через нуль в положительном направлении (^ = 0, ?^>0) Дг'в = Zj и Д (Lq) = MIs. Точно так же при переходе V через нуль в обратном направлении (^=0, q 0) Д (Lq) = — MIs. Тогда, как нетрудно видеть, поведение системы определяется следующими уравнениями:
7 + 2А$+ CoJf = O (яФ 0),
(3.31)
^=T1S (7 = °.. ?>°)>
Aq = -M-Is (q = 0, ^<0)
и тем дополнительным условием, что q изменяется непрерывно. Таким образом, осциллограмма всякого движения системы будет состоять из дуг «затухающих синусоид»:
q = Ae-'о> cos [«> (t -Y0) + ср],
начинающихся и кончающихся на оси времен. Между двумя соседними дугами существует в точке их смыкания (на оси t) разность наклонов, определенная условиями скачка.
Исследование системы (3.31) вполне аналогично исследованию, проведенному нами для часов в случае двух ударов за период, сообщающих постоянное количество движения. 1 204
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IlI
3. Модель часов с кулоновским трением. Рассмотрим для объяснения жесткого режима возбуждения колебаний в часах ударную модель часов с сухим, кулоновским трением. Мы уже рассмотрели движение осциллятора с кулоновским трением (§ 3 гл. Ш). При надлежащем выборе единиц уравнение движения такого осциллятора имеет вид
