Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
') Более подробно зге задача будет рассмотрена в § 4 гл. VIII. § 4] ТЕОРИЯ ЧАСОВ. МОДЕЛИ С УДАРАМИ 197
зависят только от положений и скоростей отдельных частей системы, но не зависят явно от времени. Таким образом, часы — это автономная система.
Для теоретического рассмотрения работы часовых механизмов мы должны, как и во всех других случаях, сделать некоторые упрощающие предположения об устройстве часового механизма, которые, делая такое рассмотрение возможным, отображали бы в то же время основные свойства часового механизма. Простейшими теоретическими моделями часов являются модели с ударами, в которых используется представление о воздействии со стороны спускового механизма на колебательную систему часов в виде мгновенных ударов. Такие «ударные» модели часов мы и будем рассматривать в настоящем параграфе. Именно, мы будем предполагать, что колебательная система (балансир, маятник) в момент прохождения системы через положение равновесия испытывает со стороны спускового механизма мгновенные удары, приводящие к мгновенным увеличениям скорости колебательной системы. Что касается закона изменения скорости при ударе, то тут уместны два наиболее простых предположения. Во-первых, можно предположить, что при ударе скорость системы всегда увеличивается на одну и ту же величину, независимо ог скорости системы до удара. Пусть, например, скорость до удара H0 и после удара т.',. Тогда наше предположение сводится к тому, что V1 — H0 = const или что mvx — mvu = const; наше предположение сводится таким образом к предположению о постоянстве количества движения, сообщаемого спусковым механизмом колебательной системе. Другое простое предположение сводится к тому, что кинетическая энергия системы при ударе изменяется на одну и ту же величину независимо от скорости системы до удара. Это предположение сво-
itw? mvl , ..
дится к тому, что --—=const. Наши предположения, конечно,
не исчерпывают всех возможных типов удара и являются лишь простейшими допущениями. Однако, присматриваясь к устройству часового механизма, можно подметить некоторые обстоятельства, говорящие в пользу второго допущения. Именно, в случае гиревого заводного механизма гиря при каждом ударе часов опускается на одно и то же расстояние, т. е. совершает одну и ту же работу. Поэтому вполне естественно второе предположение, что колебательная система получает одно и то же количество энергии'). В случае же первого предположения, поскольку энергия, сообщаемая механизму, существенно зависит от скорости системы, мы должны были бы сделать довольно искусственное допущение, что потери энергии в спусковом механизме изменяются в широких пределах, причем чем меньше скорость системы, тем больше потери энергии в спусковом механизме (так как чем меньше скорость системы до толчка, тем меньшую энергию она получает при
') Это второе предположение и делается обычно в теории часов. См., например, [133]. 1 98
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IlI
толчке в случае первого предположения). Но все же первое предположение (оті», — тлзй = const), хотя и кажется в силу этих соображений менее естественным, отнюдь не является невозможным, поэтому мы рассмотрим оба эти предположения, причем, как мы убедимся, они приводят в некоторых случаях к существенно различным результатам.
Помимо предположения о характере удара надо сделать известные предположения о характере силы трения в часовом механизме. Здесь мы также ограничимся двумя простейшими предположениями, которые мы уже применяли в других случаях. Во-первых, мы предположим, что величина силы трения пропорциональна скорости («линейное трение») и, во-вторых, что величина силы трения не зависит от скорости («постоянное трение»). Эти предположения также приведут нас к существенно различным результатам.
I. Часы в случае линейного трения. Мы начнем рассмотрение со случая «линейного трения» и удара с постоянным количеством движения, причем будем предполагать сначала, что спусковой механизм действует только один раз за период (удар, например, наносится при прохождении положения равновесия слева направо)'). Этот случай может быть исследован методом, аналогичным примененному для рассмотрения лампавого генератора с /-характеристикой. Действительно, если логарифмический декремент затухания системы d (затухание мы считаем малым), а приращение скорости, которое получает система при ударе, а, то при начальной скорости yt (мы считаем начальным момент, непосредственно следующий за ударом) скорость через период будет:
Для того чтобы процесс был периодическим, нужно, чтобы _у2 =^1 =у, где у — стационарная амплитуда. Следовательно,
Стационарная амплитуда имеет всегда конечную величину, и а оказывается по сравнению с этой амплитудой тем меньше, чем меньше d. Рассуждениями, аналогичными тем, которые были приведены для лампового генератора, можно показать, что эта стационарная амплитуда устойчива и что при малом колебания будут нарастать.
В этом можно убедиться и непосредственно из выражения (3.28), связывающего две последующие амплитуды; действительно, при сколь угодно малом у} последующая амплитуда _у2 непременно будет больше Уі.
