Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
в течение промежутка времени от 0 до (ат(0)<^0, Jf(O) = O)
величина Jf 0, а в промежутке от до ^ величина Jf <^0, и т. д. Это справедливо как для установившегося, так и для неустанови-
это так, то мы уравнении (3.15)
1а=Щ)
можем утверждать, есть периодическая
U г
2Т
вшегося процесса. Но если что функция ia = ia (Ug) функция времени с периодом Т. Вид этой функции для рассматриваемого нами случая /-характеристики таков, что нашим утверждением однозначно определяется значение функции ia = F(t) в любой момент времени. Именно, ia = F (t)
представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов (рис. 126), причем в течение одного полупериода, когда Ug^> 0, Za(Wg) = Zs, а в течение другого полу периода, когда 'a (1^) = O. Другими словами, хотя Ia и является функцией Uot т. е. в конечном счете функцией силы тока в колебательном контуре, но он зависит от нее только в том смысле, что период функции F (^) определяется свойствами системы, а форма (или, иначе, амплитуды членов ряда Фурье, представляющего эту периодическую функцию) не зависит от характера движений в системе. Мы можем поэтому рассматривать функцию
Рис. 126.
Z1 (X)--
. «а (— Mx) _ ia (Ug)
не как функцию
•— в уравнении
'S
X + Ihx -f о>3 X = ^lf1 (at) (3.23)
Jf, а как некую действующую на линейный 1 192
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IlI
колебательный контур периодическую, заданную как функцию времени «внешнюю силу» f{t), частота которой, однако, не является произвольной, а совпадает с «условной частотой» затухающих колебаний в системе, т. е. с частотой w= j/wjj—й2. Свойства системы таковы, что она приспосабливает «внешнюю силу» к своему периоду, как бы «рубит» эту силу на части, совпадающие с периодом системы. Таким образом, задача сводится к исследованию действия внешней силы на колебательную систему. В рассматриваемом случае мы можем, следовательно, амплитуды основного тона и обертонов изучаемого периодического процесса определять так же, как в задаче о вынужденных колебаниях, если вынуждающая периодическая «внешняя сила» f(t) задана (на протяжении одного периода) следующим образом:
1 при О при
г <о со
Разлагаем эту функцию в ряд Фурье:
OO
= у + 4 2 2kTTs'm (2^+1)^- ^3-24)
л=о
Так как здесь мы имеем дело с линейной задачей, для которой соблюдается принцип суперпозиции, то полное решение для «вынужденных» колебаний можно искать как сумму «вынужденных» решений, обусловленных отдельными членами ряда (3.24), т. е. искать «вынужденное» периодическое решение в виде:
оо
х (t) =Y + 2 (as cos s<°t + bs sin Siot). (3.25)
і
В таком случае
OO
Х=У (-asS<a S'n sw^ ^ssta cos Su)0>
Jc = 2 (— OsS2W3 COS swt — ^4S2W2 sin Siut). 1
Подставляя значения х, х и Jc в уравнение (3.23) и приравнивая нулю коэффициенты при косинусах и синусах, найдем, что все коэффициенты Фурье с четными номерами равны нулю (кроме а0=1), a
fit) = § 3] ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР В СЛУЧАЕ J-ХАРАКТЁРИСТИКИ 193
коэффициенты Фурье с нечетными номерами определяются уравнениями:
— u)Vas -J- 2Ao)s^s -J- U^as = О, __ „JVA _ 2Aoosa5 4- «ой. = ^,
S SlUS >
где л = 2ft -J- 1 (ft== 0, 1, 2,...).
Решая эти уравнения, находим интересующие нас выражения для нечетных коэффициентов Фурье:
_ 2ш § 2Aw(2ft+l)
aik • I--
Я (2ft + 1) К — 0)2 (2ft -I- l)2]2 -I- 4A2Wa (2ft + l)2
h _ 2cog__CO2 — CO2 (2ft+ l)2_
aft+1 n (2ft -I- 1) "[(Og — CO2 (2k -I- l)2]3 + 4A2co2 (2k -I- l)2 ' и для квадратов амплитуд соответствующих гармоник:
^ikrI — ^Wi + Ь1к ,л: _ 4*J
л2 (2k +1)2 К — и2 (2k+ I)3]2+ 4А2«2 (2ft + 1)2 •
(3.26)
Мерой несинусоидальности периодической функции лг(/), т. е. количественной характеристикой отклонения ее формы от синусоиды, служит клирфактор х, определяемый выражением
OO
.л s = 2
«! +ь\ •
Оценим величину клирфактора при малых А. Формулы (3.26) представляют собой результат применения обычной теории линейного резонанса к рассматриваемому случаю. Основной «резонансный» тон внешней силы порождает основной тон л: (/), причем квадрат амплитуды этого тона а\ -J- Ь\, как нетрудно убедиться, неограниченно растет при h -»- 0. Остальные члены разложения внешней силы имеют частоты, далекие от резонанса, и поэтому они порождают движение, для которого интересующая нас сумма квадратов коэффициентов ряда Фурье при А —0 стремится к конечному положительному пределу (этот предел соответствует случаю действия нерезонансных членов на гармонический осциллятор без трения).
Отсюда ясно, что при достаточно малом А периодическое движение в генераторе с /-характеристикой имеет сколь угодно малый клирфактор или, иначе говоря, что в этом случае автоколебания сколь угодно близки по форме к синусоидальным.
') Заметим, что в рассматриваемом случае можно найти точное выражение для клирфактора в конечном виде,
7 Теория колебаний 1 194
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IlI
Мы пользовались в вышеприведенных рассуждениях представлениями обычной теории резонанса.
Известно, что благодаря явлению резонанса сильно несинусоидальная внешняя сила при наличии линейного затухания может поддерживать в гармоническом осцилляторе колебания, весьма близкие(в смысле близости периода и малости клирфактора) к одному из его собственных (и, следовательно, синусоидальных) колебаний. Мы можем поэтому сказать, что в задаче о генераторе с !-характеристикой при достаточно малом h мы имеем дело с авторезонансом, т. е. с резонансом под действием силы, порождаемой движением самой системы ').
