Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Прежде чем закончить этот параграф, нужно исследовать закон распределения особых точек по прямой у = 0, на которой они в нашем случае только и могут быть расположены, и законы сосуществования особых точек и замкнутых фазовых траекторий. И первый и второй вопросы были решены Пуанкаре для общего случая неконсервативной системы, и мы дадим это решение в дальнейшем. Для рассматриваемого же частного случая ответ на эти вопросы получается из самых элементарных соображений. Ответим сперва на первый вопрос. Очевидно, что максимумы и минимумы кривой Z = У (je) чередуются между собой. Отсюда следует, что особые точки типа седла и типа центра также чередуются между собой на оси абсцисс фазовой плоскости.
Чтобы ответить на второй вопрос о сосуществовании замкнутых фазовых траекторий и особых точек, нужно будет также обратиться к плоскости баланса энергии (рис. 68).
Пусть у Нас имеется на фазовой плоскости замкнутая кривая ар. Тогда на плоскости баланса энергии точкам а, р соответствуют точки, в которых прямая z = h пересекает кривую z= K(Jf). Рассмотрим функцию Ф (jc) = /z—V(jc). Для нашего случая ф (а) = 0, Ф (р) = 0 и Ф(х)^>0 для a<^jc<^p. Поэтому на основании теоремы Ролля мы можем утверждать, что существует такое значение jc = S (а<С&<Ср)» для которого Ф'(S) = O или, что все равно, V(V) = O.
Рис. 68. 1 16 КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. Il
Таким образом, мы доказали, что внутри замкнутой фазовой траектории непременно имеется по крайней мере одна особая точка или, иначе говоря, что периодическое движение непременно совершается вокруг положения равновесия. Из геометрических соображений видно, что если эта особая точка единственная, то она соответствует минимуму потенциальной энергии и является особой точкой типа центра;
если же таких особых точек несколько, то центры и седла всегда будут чередоваться, причем число центров будет всегда на единицу больше числа седел. Мы можем сформулировать такую теорему: в-случае консервативной системы внутри замкнутой фазовой кривой непременно имеется нечетное число особых точек, причем число центров на единицу больше числа седел.
В заключение параграфа рассмотрим обычный маятник (с одной степенью свободы), пренебрегая силами трения и не ограничиваясь малыми углами отклонения от вертикали. Эта консервативная система несколько выходит за пределы только что изложенного, поскольку в качестве фазовой поверхности не может быть взята плоскость. В са-определяется углом (обозначим его через ft) и значения ft, отличающиеся на 2л, определяют одно и то же его положение. Поэтому, если бы мы взяли в качестве фазовой поверхности мятника обычную плоскость с декартовыми координатами ft, ft, ТО ТОЧКИ ЭТОЙ ПЛОСКОСТИ (ft -)- 2&ТС, ft), где k — любое целое число, соответствовали бы тому же состоянию, что и точка (ft, ft), т. е. было бы нарушено требование взаимно-однозначного и непрерывного соответствия между состояниями системы и точками ее фазовой поверхности. Это требование будет выполнено, если в качестве фазовой поверхности маятника мы возьмем не плоскость, а цилиндр (рис. 69).') Цилиндричность фазовой поверхности маятника,
') Весьма удобно изображать фазовые траектории маятника и ему подобных систем не на цилиндре, а на развертке цилиндра на плоскость в виде полосы шириной 2jc. В этом случае следует, однако, иметь в виду, что одна и та же линия разреза цилиндра изображается на развертке двумя (пограничными) прямыми; поэтому, пользуясь раз> ерткой цилиндра как фазовой поверхностью, мы должны отождествлять точки этих прямых (точки с одинаковыми &), т. е. считать их соответствующими одним и тем же состояниям системы.
мом деле, положение маятника § 4] ХАРАКТЕР ДВИЖЕНИЙ HA ВСЕЙ ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ
123
очевидно, связана с наличием двух различных типов движений маятника: движений без проворота вокруг оси и движений с проворотами. Уравнение маятника, как известно, может быть записано в виде ,і14
dt3
mgl sin & = О,
(2.17)
где I—момент инерции, /—расстояние от центра тяжести до точки подвеса, P = mg—вес маятника (угол & отсчитывается от вертикали, направленной вниз). Уравнение (2.17) можно привести к системе двух уравнений первого порядка:
d% dt'
du>
Tt-
"f sin а.
(2.18)
Для получения дифференциального уравнения интегральных кривых на фазовом цилиндре (или на его развертке) разделим второе из уравнений (2.18) на первое:
dm_ mgl
</5 Г
= — ^ • —. (2.19)
Интегрируя это уравнение, получим интеграл энергии (или, иначе, уравнение семейства интегральных кривых уравнения (2.19)):
Y Ao9 —mgl cos О=h (=Const)*
(2.20)
Для построения интегральных кривых воспользуемся приемом, указанным в § 3. Построив на вспомогательной плоскости Z кривую
г = V (Ь) =— mgl cos Ь (2.21)
и расположив под ней развертку фазового цилиндра, нетрудно на последней построить семейство интегральных кривых, пользуясь тем, что согласно (2.20)
-Л I
-Tf
=±Y\vh-
Рис. 70.
Такое построение дано на рис. 70 Особая точка (0, 0) — центр (ей соответствует константа интегрирования h = —tngl). Она охватывается континуумом замкнутых фазовых траекторий, для которых 1 16
