Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Для близких значений h мы будем иметь ту же самую картину, причем около замкнутых кривых мы получим замкнутые же фазовые кривые, а около бесконечных ветвей — бесконечные ветви.
3) Прямая Z = h касается кривой ^=V(Jt). Тогда все фазовые кривые можно разбить на следующие классы:
а) Изолированные точки, вблизи кото > ix (при данном h) нет ветвей фазовых кривых. Это — устойчивые состояния равновесия,
Рис. 63. 1 16 КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. Il
о которых мы уже говорили. Если мы будем менять h, то при увеличении H получим замкнутую кривую, охватывающую рассматриваемую изолированную точку, при уменьшении h вблизи изолированной
точки мы не получим действительных ветвей кривой.
б) Изолированные конечные куски фазовых кривых. Они могут быть двух родов: или это просто замкнутые кривые, соответствующие периодическим движениям, о которых у нас уже шла речь, или это фазовые кривые с самопересечением, принадлежащие к числу так называемых сепаратрис, т. е. к числу кривых, проходящих через особые точки. Эти точки самопересечения или особые точки типа седла, как мы уже знаем, соответствуют тем точкам на диаграмме х, г, где прямая z = h касается максимумов кривой z=V(x) (рис. 65). Те сепаратрисы, о которых сейчас идет речь, состоят из одного (в случае вырождения), а вообще говоря, из нескольких «звеньев».
2 7=Ь / \ /
J\
Каждое звено представляет собой отдельную фазовую траекторию (если оно граничное) или состоит из двух фазовых траекторий (если § 4] ХАРАКТЕР ДВИЖЕНИЙ HA ВСЕЙ ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ 119
оно не граничное)'). Движение по какой-нибудь из траекторий, о которых шла речь, является асимптотическим к состоянию равновесия. Такие движения называются лимитационными движениями. На один пример такого движения мы уже указывали при рассмотрении маятника, находящегося в верхнем положении равновесия. Рассматриваемые сейчас движения являются лимитационными как при t —*¦ оо, так и при t—*¦ — оо. Сепаратрисы—это, в известном смысле, исключительные интегральные кривые, так как им соответствуют точки
касания прямой z = h с кривой 2= V (л:) на плоскости баланса энергии. Знание их чрезвычайно важно для выяснения общей картины интегральных кривых на фазовой плоскости.
При изменении h характер соседних кривых будет существенно зависеть от того, будем ли мы увеличивать h или уменьшать. При увеличении h мы получим интегральную кривую, охватывающую всю исследуемую сепаратрису, всю «цепочку» лимитационных траекторий. При уменьшении мы получим замкнутые интегральные кривые внутри каждого звена (рис. 65;. Отсюда понятна роль сепаратрис как
') Особые точки являются также отдельными траекториями — они соответствуют состояниям равновесия. 1 16
КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. Il
отделяющих» кривых, которые разделяют области, заполненные траекториями разных типов.
в) Бесконечные куски фазовых кривых. В этом случае возможно несколько типов кривых. Во-первых, это могут быть убегающие траектории того типа, который мы уже рассматривали в п. 2. Во-вторых, это может быть сепаратриса в виде бесконечной цепочки, простирающаяся в одну или в обе стороны. Существенно новыми здесь будут траектории, которые являются убегающими при t -*¦ -j- оо и которые являются лимитационными при — со, или наоборот (рис. 66). Такие траектории мы также назовем сепаратрисами, так как на них
непременно имеются особые точки, которым соответствует касание прямой z=h с кривой z=V(x), и так как, что особенно существенно, характер соседних кривых существенно меняется в зависимое! и от IOiO1 будем ли мы увеличивать или уменьшать h.
Заметим, что к числу сепаратрис могут быть отнесены иногда и движения, которые являются убегающими как при f-v-j-oo, так и при t — O^. Именно это может быть тогда, когда для рассматриваемого случая прямая z = h является асимптотой кривой z= V(х), так как в этом случае мы можем получить существенное изменение характера фазовой траектории при изменении h.
Подобный пример для наглядности представлен на рис. 67. При уменьшении h убегающая траектория превращается в периодическую.
Итак, резюмируя полученные результаты, дадим перечень возможных движений:
1) Состояния равновесия.
2) Периодические движения.
3) Дважды лимитационные движения (как при t -»--І-00» так и при t-* — 00). § 4] ХАРАКТЕР ДВИЖЕНИЙ HA ВСЕЙ ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ 121
4) Дважды убегающие движения (как при так и при t —V — оо).
5) Движения лимитационно-убегающие (при t (- оо лимитационные, при t-*- — оо убегающие, или наоборот). Можно показать [163] (об этом мы еще будем говорить), что для консервативных систем почти все движения либо периодические, либо дважды убегающие, т. е. если мы будем считать все начальные значения на фазовой плоскости равновероятными, то вероятность попасть на начальные условия, соответствующие движениям типа 1), 3), 5), равна нулю, — так «редко» они расположены. Однако фазовые траектории, соответствующие этим движениям, играют большую роль на фазовой плоскости: они являются сепаратрисами— кривыми, которыми отделяют друг от друга на фазовой плоскости траектории разных видов.
