Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
2 Ll -2...(*+1) + 1 - 2 ... (A H- 2) + -J-П
Кривую, проходящую через особую точку, мы получим, полагая h = h0. Нетрудно видеть, что эта кривая имеет в точке 5 = 0, т)=0 точку возврата первого рода. Изображающая точка, попав на ус/, асимптотически стремится к состоянию равновесия, попав на ус II— удаляется от состояния равновесия. Состояние равновесия, как и в случае седла, очевидно, является неустойчивым, так как по прошествии достаточно большого промежутка времени представляющая точка, находившаяся в начальный момент в конечной 1 16 КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. Il
области Ь (г), непременно выйдет за пределы конечной области «. Движение по усу I к состоянию равновесия не нарушает нашего утверждения о неустойчивости состояний равновесия, так же как и аналогичные движения в случае седла.
Мы рассмотрели три возможных случая экстремальных значений потенциальной энергии системы и связали их с типом особых точек и с вопросом об устойчивости состояний равновесия '). Мы убедились в том, что в случае минимальной потенциальной энергии состояние равновесия является особой точкой типа центра и устойчиво; если потенциальная энергия имеет максимум, то состояние равновесия является особой точкой типа седла и неустойчиво. Состояние равновесия неустойчиво и в случае, когда потенциальная энергия имеет точку перегиба. На этом основании для рассматриваемого случая простейшей консервативной системы можно сформулировать две основные теории устойчивости: во-первых, теорему Лагранжа2), которая гласит:
Если в состоянии равновесия потенциальная энергия есть минимум, то состояние равновесия устойчиво, и, во-вторых, обратную теорему Ляпунова:
Если в состоянии равновесия потенциальная энергия не минимум, то состояние равновесия неустойчиво.
§ 4. Исследование характера движений на всей фазовой
плоскости
Перейдем теперь от локального исследования движений вблизи особых точек к исследованию кривых на всей плоскости. При этом мы опять будем пользоваться плоскостью баланса энергии и будем исходить из предположения, что — функция, аналитическая на
всей прямой X. Потом, когда мы перейдем к примерам, мы рассмотрим несколько случаев, когда допускает разрывы.
Итак, предположим, что на плоскости х, z нам даны кривая Z=V(лг), удовлетворяющая указанным требованиям3), и некоторая
') Очевидно, каждая особая точка дифференциального уравнения (2.3) является особой точкой в смысле, употребляемом в дифференциальной геометрии, для интегральной кривой
^ + К(л:) = Ло.
Состоянию равновесия с минимальной потенциальной энергией соответствует изолированная особая точка, с максимальной потенциальной энергией — узловая точка (т. е. точка самопересечения кривой) или точка самоприкосновения, топологически эквивалентная узловой точке; наконец, состоянию равновесия, в котором потенциальная энергия имеет точку перегиба, соответствует точка возврата первого рода.
2) Эта теорема иногда носит название теоремы Лежен-Дирихле, по имени математика, который ее впервые строго доказал. Эта теорема справедлива также и для консервативных систем со многими степенями свободы.
*) Для краткости рассуждений мы предположим, что V(x) не допускает точек перегиба, в которых касательная параллельна оси х. § 4] ХАРАКТЕР ДВИЖЕНИЙ НА ВСЕЙ ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ 117
2 г=Ь
'—
прямая z = h. Построим на фазовой плоскости совокупность всех движений, которые характеризуются заданной константой энергии. Могут встретиться следующие основные случаи:
1) Прямая z = h нигде не пересекает кривой К(лг). Если в этом случае точки кривой Z=V (х) лежат выше точек прямой z = h, то на всей фазовой плоскости не существует движений с такой полной энергией, так как скорости таких движений были бы мнимыми. Если же прямая z = h лежит выше кривой z= V (х), то на фазовой плоскости мы будем иметь две симметрично расположенные ветви фазовой траектории (рис. 63). Изображающая точка, начавшая двигаться с любого места как верхней, так и нижней ветви, будет двигаться в одном направлении, не останавливаясь, и уйдет в бесконечность. Если мы заменим t на —t, т. е. заставим время «течь в обратном направлении», то характер движения изображающей точки не нарушится, изменится лишь направление движения. Такие движения, такие фазовые траектории, для которых изображающая точка при всяком начальном положении уходит в бесконечность, мы будем называть убегающими движениями и убегающими траекториями. Рассматриваемые движения являются убегающими как при
t-+-\-<x>, так и при — оо. Легко видеть, что для соседних значений h мы получим ту же самую картину, у нас будут совершенно аналогичные фазовые траектории.
2) Прямая Z = h пересекает кривую z= V (л;), нигде ее не касаясь (рис. 64). Для тех значений х, для которых V(x)^>h, нет фазовых траекторий, для остальных же значений х существуют фазовые траектории, причем они бывают двух родов: это либо ветви, уходящие в бесконечность (число которых не больше двух), либо это замкнутые ветви (число которых может быть любым). Ветви, уходящие в бесконечность, опять-таки соответствуют движениям, убегающим как при оо, так и при t— оо. Замкнутые ветви соответствуют периодическим движениям.
