Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Если же условие самовозбуждения (10.51) выполнено (но по-преж-
п\
нему AS0 < 1 "H?^j . ТО единственное состояние равновесия (0, 0) будет неустойчивым фокусом или узлом, и при сделанных нами предположениях относительно вида характеристики ламповой группы ia = = Ia (и) на плоскости и, z будет рис_ 553.
существовать единственный и устойчивый предельный цикл, к которому будут идти все остальные фазовые траектории (рис. 563 и 564). Разбиения плоскости и, z на траектории, изображенные на рис. 563 и 564, построены путем графического интегрирования (методом изоклин) уравнений (10.50). Первое
ЛреОельныц цим 822
разрывны?. колебания
[гл. X
из них дано для случая, когда состояние равновесия является неустойчивым фокусом, второе — для случая, когда это состояние равновесия — неустойчивый узел. В схеме, таким образом, при любых начальных условиях будут устанавливаться непрерывные автоколебания, поскольку скорости движения изображающей точки по предельному циклу, равно как и на всей плоскости гг, г, всюду ограничены (и при сколь угодно малой паразитной емкости C0). Иная картина получается
при RS0 > 1 т. е. при
При выполнении этого условия в силу непрерывности и монотонности изменения S (гг) от S до 0 при увеличении |гг|, очевидно, существует такое значение гг* напряжения гг на сетке левого триода,
что /?5(ньгг*)=1 + рр а ПРИ
|гг|<^гг* RS (гг) 1 -)- и, следовательно, условие несущественности
малой паразитной емкости C0 (условие (10.49а)) не выполнено. Поэтому фазовые траектории «быстрых» движений (скачков) в фазовом пространстве гг, z, V1 отходят от полосы |гг|^гг* поверхности F—фазовой поверхности системы без паразитной емкости C0, т. е. при |гг|г^гг* в рассматриваемой схеме возможны только «быстрые» движения изображающей точки — скачки напряжения гг, не подчиняющиеся, конечно, уравнениям (10.50), составленным при пренебрежении малой паразитной емкостью C0. Наоборот, на остальной части поверхности F (при |гг|^>гг*) условие (10.49а) выполнено, там траектории «быстрых» движений подходят к поверхности Ft и следовательно, вблизи ее движение изображающей точки (колебания схемы) может быть удовлетворительно отображено уравнениями «медленных» движений (10.50), если только емкость C0 действительно мала.
Таким образом, при ? ?Kp мы получаем разбиение фазового пространства гг, г, Vi на траектории, приведенное на рис. 565 и соответствующее уже разрывным колебаниям схемы. На части F+ поверхности F: | гг | ^>гг*, имеют место «медленные» (с конечной скоростью при JJ. —>- -]— 0) движения изображающей точки по траекториям, определяемым при достаточно малых Ca (при ц —>- 0) уравнениями (10.50). Вне Z7+ при [Ji-v^-O г'г->- оо, но z и остаются § 101 «универсальная» схема
823
конечными, поэтому там имеют место «быстрые» движения изображающей точки (скачки) по траекториям «быстрых» движений г = const, U1 = Const '). Так как над поверхностью/7 It-> — оо (при \х -»--)- 0) и под ней гг->-)-оо, то все траектории «быстрых» движений идут к поверхности F+, где переходят в траектории «медленных» движений. В свою очередь все траектории «медленных» движений переходят в траектории скачков при гг=-)-гг* или при и =— и*. Из этих чередующихся друг с другом кусков траекторий «быстрых» и «медленных» движений и «сшиваются» траектории движения изображающей точки — фазовые траектории рассматриваемой схемы в
пространстве и, z, Vi. Можно показать, что все фазовые траектории стремятся (при t -> -(- оо) к единственному и устойчивому предельному циклу. Таким образом, при ? 8кр в схеме устанавливаются при любых начальных условиях разрывные автоколебания.
На рис. 566 приведена проекция на координатную плоскость и, z этого разбиения пространства и, z, V1 на траектории. Траектории «медленных» движений, идущие в областях |гг|^>гг*, построены путем графического интегрирования уравнений (10.50); траекториями скачков являются прямые z= const, причем концевые точки (qp«**, Z2) траекторий скачков, начинающихся в точках (±н*, Z1), определяются, очевидно, соотношениями:
г, = г„ Ria (+ и**) + (1 + ) «** = Rta (=Ь и*) ± (l + и*
') Условия неизменности г и V1 при скачке напряжения и получаются и из дополнительного (физического) предположения об ограниченности токов и напряжений в схеме. Если токи в схеме ограничены (не могут быть бесконечно большими), то напряжения V1 и V2 на конденсаторах C1 и C2 не могут изменяться скачком (V1 и Vi должны быть ограниченными). Тогда во время мгновенного скачка должны оставаться неизменными V1 и Vi — V1 = (1 — ?) гц =; = (1 — г3) г, т. е. г. 824
разрывны?. колебания
[гл. x
(множество концевых точек траекторий скачков образуют, таким образом, прямые и = — и** и гг = и**). Как видим, все траектории асимптотически приближаются (при t—>--|-со) к предельному циклу ABCDA, состоящему из двух кусков траекторий «медленных» движений AB и CD и двух отрезков траекторий «быстрых» движе-ний ВС и DA ').
Заметим, что сам переход непрерывных автоколебаний в разрывные при ? = ?Kp совершается непрерывно: при ?, приближающихся К ?Kp со стороны меньших значений (? ?Kp), скорость изменения напряжения гг на прямой гг = 0 неограниченно возрастает и при ? = ?Kp становится бесконечно большой; с другой стороны, изменение напряжения и в результате скачка (;= гг** гг*) при ?]>?Kp монотонно растет при увеличении р, начиная с нулевого значения при Р = Ркр.
