Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
U^1 ,, 1 А-.. — 1 ь — і
в рассматриваемом случае h > 1 приближенно равна --— ~ 2h ' а
амплитуда колебаний напряжения v на конденсаторе С
у "о _{k-\)L
2h 2h — CRs и°-
') О получении картины на фазовой плоскости при помощи катодного осциллографа см. Дополнение Ц. 818 разрывны?. колебания [гл. x
Фотографии расположены в порядке уменьшения L. Характер периодического процесса, изображенного на этих фотографиях, в общем
Рис. 560.
совпадает с той картиной, которую мы получили при теоретическом рассмотрении.
§ 10. «Универсальная» схема
Рассмотренные выше (в этой главе) системы могут совершать только разрывные автоколебания. Существуют, однако, такие системы, в которых возможны как непрерывные, так и разрывные автоколебание переходящие друг в друга при изменениях того или иного параметра системы (при переходе этого параметра через некоторое критическое, бифуркационное значение). Такова, например, так называемая «универсальная» схема [125], приведенная на рис. 561 (характер § 101 «универсальная» схема
819
ее состояния равновесия был уже рассмотрен в § 4, гл. V). Эта схема является «промежуточной» между генератором квазисинусоиг дальных (и следовательно, непрерывных) колебаний с двухзвенной RC-цепочкой (см. § 12, гл. V и § 5,гл. VIII) и мультивибратором с одним /?С-звеном: в первую схему «универсальная» схема превращается при нижнем положении движка потенциометра г (при
? = -^-=0) и во вторую —
при верхнем положении этого
движка (при ? = = 1),
когда емкость Ci оказывается подсоединенной параллельно емкости C1. Поэтому можно ожидать, что при перемещении движка потенциометра от нижнего положения к верхнему (при изменении ? от 0 к 1) в схеме будет иметь место переход от непрерывных автоколебаний к разрывным. Исследование схемы это подтверждает.
Уравнение колебаний «универсальной» схемы при пренебрежении сеточными токами и анодной реакцией, а также всеми паразитными параметрами схемы кроме малой паразитной емкости C0 (она изображена на рис. 561 пунктиром) могут быть записаны на основании законов Кирхгофа (в обозначениях рис. 561) следующим образом:
B"~u'=ia(u) + cJ^ -H1 + ?.
dv о
Рис. .561.
R
Г dVl — і
С.,
2 dt
'2.
U = Г O'l + ?i'a), Iia = U + Vi, Vi = V1 + (1 — ?) rilt или в переменных и, и Z = Hi (при C0-^C1, Ci):
p« = Ea- Ria (и) - (1 + А) „ + (1
где |jl :
V1 = Z, (I-P)Z
-RC1
C1
(1
C1
(10.48)
гС
PC2 " ' ?Ca
малый положительный параметр, характеризующий ма-
лость паразитной емкости C0 (0 ja 1), а точкой сверху обозначено
дифференцирование по безразмерному времени t' = ~^r. Характери-
ru 1
етика ламповой группы іа = іа(и) изображена на рис. 561; мы будем 820
РАЗРЫВНЫ?. КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
полагать ниже для большей определенности, что абсолютное значение крутизны характеристики
SOO = -I
имеет наибольшее значение (=S0) в состоянии равновесия схемы (при гг = 0) и монотонно убывает, стремясь к нулю, при увеличении |н|.
Если пренебречь малой паразитной емкостью Cn, т. е. положить и уравнениях (10.48) [і = 0, то множество состояний такой системы будет составлять в пространстве и, z, г», поверхность F:
F (и, г, г»,) = 0,
где
F (и, г, V1) = Ea-Ria(U)- 1 +
? г
"+(I-P)p-Z-W1
(10.49)
— правая часть первого уравнения (10.48) — уравнения с малым коэффициентом jjl При производной. Поверхность F в Пространстве U, Z, dj гомеоморфна координатной плоскости н| z; поэтому «медленные» движения системы мы можем отображать траекториями на этой плоскости. В соответствии с (10.19) имеем следующее условие несущественности малой паразитной емкости Ca:
dI
да
= RS(U)- 1
>
<0.
(10.49а)
Здесь, очевидно, возможны два случая.
п
При RS0^ljTpr или> иначе, при
PCPkp =
г RS0 - 1
условие (10.49а) будет выполнено на всей фазовой поверхности F системы с Са = 0. В этом случае малая паразитная емкость Ca не является существенной для колебательных процессов в схеме, ею можно пренебречь и рассматривать колебания «универсальной» схемы как колебания системы с одной степенью свободы, описываемой уравнением (10.49) и двумя последними из уравнений (10.48). Это связано, очевидно, с тем, что при ? ?Kp все траектории «быстрых» движений изображающей точки, которые имеются при малых Ca (при JJ. —> —}— 0) в фазовом пространстве и, z, D1 вне поверхности F, идут к этой поверхности (рис. 562). Исключая из этих уравнений одно из переменных, например K1, мы получим для переменных и, Z систему двух дифференциальных уравнений:
R L Cl ?r ?C8 I1-Tpr I1^C3
C1
' P (1 - W C1
+ fr~RS{U) ' і \ Ci
(10.50) § 101
«универсальная» схема
821
с регулярными правыми частями (знаменатель правой части первого уравнения всюду положителен). Эти уравнения позволяют проследить
за поведением рассматриваемой схемы и сделать заключения о ее колебаниях.
Если условие самовозбуждения
RS«>1+F^TWl (10-51)
не выполнено, то единственное состояние равновесия (гг = 0, г = 0) является устойчивым фокусом или узлом, к которому идут все фазовые траектории. В этом случае при любых начальных условиях схема приходит к состоянию равновесия, т. е. не совершает ни непрерывных, ни разрывных автоколебаний.
