Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
5= 2 НО(т)=1/К*-1) і о (h\
sin а У nh IV/
Так как при малых h фазовые траектории «медленных» движений близки к окружностям Xі -)-_у2 = const, то приближенно такой же будет и амплитуда автоколебаний переменного а;. Переходя от безразмерных переменных к размерным, мы получим для амплитуд автоколебаний напряжений и (на сетке лампы Lx) и v (на конденсаторе С) следующие выражения:
Ua = H0і = и, j/"2*(*-l) h~T + о (A^)1
V0 = ± = /^iL A-4+ О (A-4).
') Нетрудно получить и следующий член в асимптотическом разложении поправки иа период. Положив в (10.466) a =a0tl/i-\- аи где ?, = 0(/'1)-
и а0 — Y ¦ мы получим уравнение, определяющее следующий член
асимптотического разложения:
1*к* 4- aV 1 7%2 — «V і »
-^- + ад2 --ff- = ^2 + «ої 2--^f-J + O(Ka),
т. е.
з
+ о (п
/
и, следовательно,
й—ь.п' + от
816
разрывны?. колебания
[гл. X
Так как при малых h V0^>Ua, то амплитуда колебАий напряжения иV на аноде лампы JIi, очевидно, приближенно равняется Vr0. Все эти амплитуды возрастают при увеличении L (или, что то же
Перейдем теперь к рассмотрению случая малых L или, иначе, случая, когда /г^>1. В этом случае корни характеристического уравнения (10.43) действительны и отрицательны, и система ведет себя во время «медленных» движений как линейная, имеющая в начале координат особую точку типа узла (рис. 555). В частности, в области «медленных» движений, т. е. при |аг|^>1, имеются две прямолинейные фазовые траектории (их угловые коэффициенты являются величинами, обратными корням X1 и Xi характеристического уравнения (10.43) ). Разбиение плоскости х, у на траектории для случая малых L было приведено на рис. 558 (траектории движения изображающей точки состоят из кусков фазовых траекторий «медленных» движений и из кусков траекторий «быстрых» движений — скачков: у = const).
Подробное рассмотрение показывает, что и в этом случае существует устойчивое периодическое движение, состоящее из двух движений с конечной скоростью и двух скачков и устанавливающееся при любых начальных условиях (это утверждение может быть доказано, например, путем построения и исследования соответствующего точечного преобразования). Эти движения представляющей точки по предельному циклу и отображают разрывные автоколебания в мультивибраторе. Амплитуда этих колебаний может быть определена сразу; именно, изменения переменного X происходят в пределах от a_.,j до —Xi, т. е. амплитуда автоколебаний переменного х равна аг.2 = = '2k — 1 (тогда амплитуда колебаний напряжения и на сетке лампы JJ1 Ua = (2k—1) wg). Что же касается периода автоколебаний, то его можно определить, взяв интеграл по t вдоль участков предельного цикла, по которым происходит «медленное» движение изображающей точки.
Однако задача вычисления периода весьма упрощается в том случае, когда L очень мало (L^ +CRi, но, конечно, по-прежнему
Z->—и [J. 1). Тогда/г ^>1 и фазовые траектории в области
«медленного» движения (но вне некоторой малой окрестности прямой у = — 2hx) близки к горизонтальным прямым2). Соответственно
1J Так как амплитуда колебаний напряжения на аноде лампы JIi возрастает при увеличении индуктивности L (как ?3/4), то наша теория мультивибратора, развитая при пренебрежении анодной реакцией, очевидно, перестает быть справедливой при достаточно больших L.
s) =--2hX-\- У ~ ~ 2ft — ® вне мал°й окрестности прямой у =
= — 2hx. Поэтому, в частности, амплитуда автоколебаний переменного у будет
самое, при уменьшении h =
Я'С' § 9] мультивибратор с индуктивностью в анодной цепи 817
предельный цикл будет близок к оси у = 0; поэтому во время «медленного» движения изображающей точки по предельному циклу х — Ihx
или — i? — обычное время) и, следовательно, dt=
L dx ,,
— Интегрируя правую часть этого уравнения в преде-
лах от х.г до 1, мы получим длительность полупериода автоколебаний:
і
L- — _ А (' dx _ L 2 ~ R ) х ~ R 1Л'2'
г. е. период автоколебаний равен:
7=-4- In (2й— 1). (10. 47в)
H
Интересно, что в рассмотренном случае емкость С не влияет заметно
на величину периода; это объясняется тем, что при малых L мы
получаем сравнительно высокочастотные разрывные автоколебания,
во время которых емкость С почти не успевает перезаряжать-
• ся (амплитуда колебаний напряжения на этой емкости, как мы ви-
., (k—1)1 ^ . дели, равна V11 = RCl - и„ < и0).
Мы подробно рассмотрели два предельных случая больших и малых индуктивностей L и получили ответы на все вопросы, которые обычно возникают при исследовании автоколебательных процессов. Именно, мы выяснили вопросы об амплитуде, периоде и форме автоколебаний и характере их установления. Мы ограничились случаями больших и малых L только ради простоты изложения, вообще же можно исследовать все эти вопросы и при других, промежуточных значениях L. На рис. 560 приведены фотографии картины на плоскости л, и -)- V, полученные для рассматриваемой схемы с помощью катодного осциллографа (на отклоняющие пластины осциллографиче-ской трубки подавались напряжения на сетке лампы JI1 и на аноде JIi)').
