Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
1) Схема совершает разрывные колебания, гак как все траектории «быстрых» движений идут к поверхности F+ и переходят, слег довательно, в траектории «медленных» движений, которые в свою очередь переходят снова в траектории «быстрых» движений на границах поверхности F~, т. е.
при AT = ± 1.
2) «Медленные» движения изображающей точки имеют место только на Поверхности Fr:
z = x + k<?(x):\х\> 1;
только при j AT j 1 уравнения (10.41) или (10.41а) отображают законы колебаний схемы').
3) Во время «быстрых» движений (скачков) изображающей точки переменное AT (или напряжение и на сетке лампы JI1) изменяется мгновенно, а переменные у и z
(т. е. напряжение v на конденсаторе С и сила тока і в анодной нагрузке) остаются неизменными 9).
3. Разрывные колебания схемы. Проведем детальное рассмотрение разрывных колебаний схемы, опираясь на только что сформулированные особенности колебаний схемы, и, в частности, докажем существование автоколебаний.
Как уже указывалось выше, «медленные» движения системы имеют место только при |аг|> 1, поэтому они описываются линейными уравнениями:
Рис. 554.
-Ч
(10.416)
і: = — cIhx ¦ У =х,
поскольку ср' (jc) = 0 при |аг|^>1. Так как характеристическое уравнение для системы (10.416) записывается в виде:
ді 2АХ Jr I = 0, (10.43)
то характер поведения схемы во время «медленных» изменений состояния зависит только от величины параметра h= ?-j/^ ~ .Именно,
') Наоборот, фазовые траектории «быстрых» движений отходят от участка F~ (|-*|<1) фазовой поверхности F «вырожденной» модели, поэтому там нет никаких «медленных» движений и уравнения (10.41) не справедливы.
2) Условия неи:менности напряжения v и силы тока і при скачке состояния системы вытекают и из дополнительного предположения об ограниченности напряжений и токов в схеме. 810
РАЗРЫВНЫ?. КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
если 1, т. е. если то оба корня характеристического
уравнения (10.43) будут действительными и отрицательными, и система будет себя вести как апериодическая. Ее фазовые траектории вне заштрихованной полосы | д: j 1, для которой уравнения (10.416) не справедливы, будут иметь вид такой же, как и в случае линейного
осциллятора, особая точка которого является устойчивым узлом (рис. 555)'). Если же
h < 1 (или, иначе, L -L CRi),
то система будет вести себя (во время «медленного» движения) как линейная колебательная система с особой точкой типа устойчивого фокуса в начале координат и фазовые траектории вне заштрихованной полосы I а: К 1 будут иметь вид кусков спиралей (рис. 556). И в том, и в другом случае изоклиной вертикальных касательных является прямая _у =—Ihx, а изоклиной горизонтальных касательных — Рис. 555. ось а: = 0 (последняя, однако,
лежит вне области применимости уравнений (10.416)). Стрелками на фазовых траекториях (рис. 555 и 556) указано направление движения изображающей точки, определенное по тому, каков знак х или у в той или иной области. Заметим, что представляющая точка двигается по фазсвым траекториям уравнений (10.416) не в направлении вращения часовой стрелки, как обычно, а против этого направления, потому что у не есть просто jc, а связано с ас и jc уравнением
у= — jc — Ihx.
Нетрудно видеть, что независимо от значения параметра h фазовые траектории «медленных» движений выходят на прямые х = ;± 1, откуда изображающая точка уходит скачком по соответствующей траектории «быстрого» движения: у = Const (и г= const). Место, куда придет изображающая точка в результате скачка, определяется
') Мы будем отображать колебания схемы движением изображающей точки не в трехмерном фазовом пространстве х, у, г, а по плоскости х, у. Ясно, что при таком рассмотрении фазовые траектории «медленных» и «быстрых» движений на плоскости х, у, являющиеся проекциями фазовых траекторий в пространстве X, у, г, могут пересекаться между собой, § 9] мультивибратор с индуктивностью в анодной цепи 811
условиями неизменности при скачке переменных у и г. Поскольку концевая точка скачка (в пространстве х, у, zj лежит снова на
Рис. 556.
поверхности Z = x-\-ky(x), ее координаты (jc2, связаны с координатами начальной точки скачка (a:,, j/,), где Ar1=+!, уравнениями
У*= У и
at2 Acp (at2) = Xi -f- Acp (at1) и определяются этими уравнениями однозначно, а именно:
1 (10.44)
at2= -(2А— 1) at1./ ;
Следовательно, с прямой jc = 1 изображающая точка перескакивает по траектории скачка у = const в точку прямой х = — (2А—1), и наоборот, с прямой at = —1—на прямую x = 2k—1. После скачка изображающая точка движется дальше снова по фазовой траектории «медленного» движения, пока снова не придет на прямую at = ±1, и т. д. Таким путем из кусков фазовых траекторий «медленных» движений и скачков составляются фазовые траектории (точнее, положительные полутраектории) мультивибратора, отображающие его разрывные колебания (рис. 557 и 558). Покажем, что эти траектории.асимптотически приближаются (при t ->-4" к устойчивому предельному циклу.
Мы начнем наше рассмотрение со случая достаточно большой
