Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
(1 — k) X = — tIhx —у, у =X
с характеристическим уравнением
(1 — ?)>*.+2М.+ 1 =0.
Поэтому состояние равновесия (0,0) устойчиво при k < 1 и неустойчиво при 1.
Ниже мы будем рассматривать только последний случай —
случай самовозбуждающегося мультивибратора (нетрудно видеть, что при 1 все траектории идут при возрастании t к единственному и устойчивому состоянию равновесия, т. е. в этом случае нет никаких автоколебаний). § 9] мультивибратор о индуктивностью в анодной цепи 807
Рассмотрим ход фазовых траекторий системы уравнений (10.41а) вблизи прямых аг = ±1, являющихся границами областей линейности. Так как при переходе через эти прямые выражение 1 -f- к<?' (аг) изменяет знак (поскольку ?^>1), то точки этих прямых или, точнее, точки полупрямых аг = 4-1, - 1 и at =- 1,_у<-|-1 являются точками стыка фазовых траекторий. Эти точки не являются состояниями равновесия, но к ним фазовые траектории подходят с обеих сторон.
Таким образом, пренебрегая паразитными параметрами, мы получили «дефектную» модель мультивибратора — модель, не позволяющую провести рассмотрение колебаний мультивибратора: уравнения (10.41а) «заводят» систему в такие состояния на прямых х = -±1, которые не являются состояниями равновесия и из которых,.с другой стороны, нет выходящих фазовых траекторий. Поэтому для получения «доброкачественной» модели мультивибратора нам необходимо или дополнить уравнения (10.41а) соответствующим постулатом скачка или же учесть существенные паразитные параметры схемы.
В задаче о колебаниях судна, управляемого двухпозиционным авторулевым (гл. VUl, § 6), мы также получили на фазовой плоскости линию стыка фазовых траекторий и затем доопределили систему дифференциальных уравнений движения системы так, чтобы стало возможным движение изображающей точки и вдоль этой линии; это движение изображающей точки соответствовало наблюдаемому на практике так называемому «скользящему» режиму работы двухпозиционмого авторулевого.
В рассматриваемой задаче о мультивибраторе такое доопределение движения изображающей точки вдоль полупрямых а = + 1, _у > — 1 и A=—1, у с -j-1 ничего, кроме ухода в бесконечность, дать не может, т. е. также не приводит к результатам, хотя бы качественно согласующимся с экспериментальными данными.
Заметим также, что точно такая же «дефектная» модель (с линиями стыка фазовых траекторий) получается и для мультивибратора с анодной нагрузкой,-состоящей из сопротивления Ra и индуктивности L. Поэтому учет в мультивибраторе с одним /?С-звеном (§ 4 настоящей главы) паразитной индуктивности анодной цепи не приведет к построению «доброкачественной» модели мультивибратора.
2. Уравнения мультивибратора при учете паразитной емкости
Ca. Составим уравнения колебаний мультивибратора, учитывая малую паразитную емкость анодного узла Ca (ее учета, как мы сейчас увидим, будет достаточно для построения «доброкачественной» модели мультивибратора). На основании законов Кирхгофа имеем:
і U =?.-<» + *).
r dv и — Е„
ь dt — тПГ° ' РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
или в переменных X, у, z, ta0B, пренебрегая малой емкостью Crt в выражении С-\-Са:
\хх = г — X — k'р (х) = F(x, г), I
у = х, (10.42)
Z=-Ihx —у, j
RC
где р. = —малый положительный параметр, характеризующий
малость паразитной емкости Ca (остальные обозначения те же, что и в (10.41)).
Полагая р, = 0, т. е. пренебрегая малой паразитной емкостью Ca, мы получим снова уравнения (10.41) или (10.41а) — уравнения «медленных» движений системы, которые, однако, справедливы не на всей фазовой поверхности F «вырожденной» системы (с Crt = O)'
F(x, г) = 0 или z=x-\-ko(x),
а только на той ее части F1', на которой выполняется условие несущественности малой паразитной емкости Crt:
F' = - 1~ А<р'(.*)< 0,
Т. е. ТОЛЬКО при I X I^l1).
Вне малой окрестности поверхности F' происходят «быстрые» движения изображающей точки (там при ja—>-f-0 х—»-оо, т. е. х изменяется скачком). При этом траектории «быстрых» движений при малых р. близки к прямым у = const, г = const и идут в сторону уве-' личения X над поверхностью F (при z х -j- k<p (х) и при х->-(-оо) и в сторону уменьшения X под ней (при z<^xAcp(х)). Предельное (для р. -*¦ 0) разбиение фазового пространства х, у, z на траектории системы (10.42), к которому близко разбиение на траектории при достаточно малых качественно изображено на рис. 554; в частности, там изображен предельный цикл, который, как мы увидим ниже, действительно существует при ;о. —-j— 0.
Таким образом, рассматривая модель мультивибратора, полученную при учете малой паразитной емкости C0, мы приходим к следующим выводам относительно характера колебаний схемы (при
') Мы рассматриваем случай А>1; тогда при j х j < 1 Fj = k — t>0. Если же k < 1, то условие несущественности малой паразитной емкости Ca выполняется на всей поверхности F = 0; соответственно на фазовой плоскости X, у модели мультивибратора без емкости Ca нет линий стыка фазовых траекторий.
Заметим, что фазовая поверхность F «вырожденной» модели и плоскость X, у гомеоморфны друг другу (йх> точки соответствуют друг другу взаимно однозначно и непрерывно). Поэтому мы можем отображать «медленные» движения системы движением изображающей точки не по поверхности F+, а по плоскости X1 у (j X j > I). § 9] мультивибратор с индуктивностью в анодной цепи 809
