Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Если схема самовозбуждается, т. е. если в состоянии равновесия Д<0, то линия F имеет точки максимумов и минимумов z, которые одновременно являются граничными точками фазовых траекторий
«медленных» движений F+, так как в них Д (х,у) и обраща-
ются в нуль2). В этих точках «медленное» движение изображающей
') На линии F
1 + D -h -V (а) + [1 + D + 'У (у) ] % = О
1 + D + 'V (у)
Так как 1 + D + (у) > 0, то знак (-—-) совпадает со знаком Д(А,_у).
1 ' ' \dx Jf=о
2) Рис. 552 дан для случая, когда линия F имеет одну точку максимума (точку б) и одну точку минимума z (точку г) и, следовательно, два участка F+: Ft и F?. Проекции этих точек на плоскость а, у лежат, очевидно, на линии Г,
ІГ 804
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
точки переходит в «быстрое», скачкообразное по соответствующей траектории Z=Const, приводящей изображающую точку вновь на один из участков F+. Во время этих скачков z, т. е. напряжение v на конденсаторе С, остается неизменным (при ц 0), что дает условия скачка (10.39).
Разбиение фазовой поверхности на траектории «быстрых» движений обеспечивает, в отличие от условий скачка (10.39), однозначность соответствия начальных и концевых точек скачков во всех случаях, включая и те, когда линия F имеет больше, чем по одной точке максимума и минимума z. Именно, в соответствии с этим разбиением из точки максимума (минимума) z на кривой F скачок совершается по траектории z = const вправо (влево) в ближайшую точку пересечения прямой z=const с линией F.
Предельное (при —>¦ —{— 0) разбиение фазовой поверхности Ф* на траектории, к которому близко разбиение этой поверхности при т. е. при Сі<й^С, для случая самовозбуждающейся схемы приведено на рис. 552. Очевидно, при любых начальных условиях в схеме устанавливаются разрывные автоколебания, отображаемые на фазовой поверхности предельным циклом абвга (его проекцией на плоскость х,у и являлся разрывный предельный цикл Bfll —г* -Г* Bfll Bi).
Так, учитывая хотя бы одну из существенных паразитных емкостей, мы получили «доброкачественную» модель схемы Фрюгауфа, позволяющую полностью рассмотреть колебания схемы без каких-либо дополнительных гипотез и предположений.
§ 9. Мультивибратор с индуктивностью в анодной цепи
Мы уже видели, что задача рассмотрения автоколебательной системы значительно упрощается, если один из существенных колебательных параметров мал, вследствие чего движения системы распадаются на сравнительно простые «быстрые» и «медленные» движения. Первые из них описываются уравнениями (10.17) или соответствующим образом сформулированным постулатом скачка; вторые — уравнениями (10.16), составленными без учета паразитных параметров и имеющими поэтому пониженный порядок.
Мы перейдем теперь к рассмотрению более сложных систем с разрывными колебаниями, уравнения «медленных» движений которых имеют второй порядок. В качестве первого примера возьмем знакомую нам схему мультивибратора с одной RC-цепыо, но с индуктивной анодной нагрузкой (рис. 553) (для некоторого упрощения задачи мы будем пренебрегать омическим сопротивлением анодной нагрузки).
1. Уравнения «медленных» движений. Пренебрегая всеми паразитными параметрами, сеточными токами и анодной реакцией, мы § 9] МУЛЬТИВИБРАТОР С ИНДУКТИВНОСТЬЮ B АНОДНОЙ ЦЕПИ 805
получим на основании законов Кирхгофа следующие уравнения колебаний мультивибратора (в обозначениях рис. 553):
L<Tt=Ea — (" + *>).
. , . , и — Ee 1 = la 00 "I--Jfji- .
„ dv и — Ее
С1Г=—7Г^<
которые являются уравнениями второго порядка (соответственно состояния мультивибратора мы можем отображать точками на фазовой
плоскости и, v). Схема, очевидно, имеет единственное состояние равновесия, в котором
u = Eg, ia=i°a = La(Eg), і = La, V = Vti = Ea-Eg.
Для упрощения рассмотрения колебаний мультивибратора мы аппроксимируем характеристику ламповой группы ia = ia(u) кусочно-линейной функцией (рис. 553), причем будем считать, что сеточное смещение Eg выбрано гак, чтобы рабочая точка, соответствующая состоянию равновесия, лежала в середине падающего участка характеристики.
Введем новые безразмерные переменные х, у, z, пропорциональные переменным составляющим напряжений гг и г» и тока L: 806
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
где п.{ — половина «длины» падающего участка характеристики ламповой группы, новое безразмерное время
і - 1
нов ~ VLC '
а также безразмерную характеристику ламповой группы
-f- 1 при X < — 1,
_г; (F -Ln.H_; CFM — I
uaS
(at) = -L- [Ze (Eg + гцх) — Ia (Я )] = J — аг при | at | < 1,
— 1 при АГ^> -f- 1,
где S-— абсолютное значение крутизны характеристики на падающем участке. Тогда, выбрав ? = R > мы приведем уравнения муль-
тивибратора к следующей безразмерной форме:
Z = — Ihx—у, \
z = x+р(х), 1 (10.41) у = X1 J где _
k = SR и h=\=«YT>
или, исключая z,
._ 2 hx-\-y »
1 + k9'(x)' I (10.41а)
V=x. j
Фазовая плоскость х,у при кусочно-линейной характеристике ламповой группы <р (аг), очевидно, распадается на три области линейности: 1) I дг К 1; 2) jf 1- и 3) аг< — 1. Так как при | аг 1 ср'(аг) = —1, то в первой области, содержащей единственное состояние равновесия (аг = 0, у = 0), уравнения (10.41а) запишутся в виде линейной системы:
