Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Выясним, при каких значениях параметров возможны разрывные колебания. Очевидно, для этого необходимо: 1) чтобы кривая Г существовала (чтобы она имела действительные ветви); 2) константа b в уравнении (10.37') фазовой линии Ф должна быть такой, чтобы линия Ф пересекала кривую Г. Как мы уже видели, кривая Г существует, если
а<1 — D.
Второе условие будет выполнено, если в состоянии равновесия схемы (лг0, у0), определяемом соотношениями:
jfO=JV 2(1 4-Z))X0-2а ctgX0 = ft,800
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
д 1 <0' или> иначе Г0В°РЯ' sin^o Y^D •
Подставляя последнее неравенство в уравнение, определяющее состояние равновесия, получим следующее условие, необходимое для того, чтобы линия Ф пересекала кривую Г:
2(l-fo) aresin y-JL^-la-y \=R-\<b<
<2(1 aresin yZIlJ^2ayr
щичем для aresin взято его значение, соответствующее первой четверти, а значение корня взято со знаком плюс.
Ввиду математических трудностей, связанных с вычислениями периода автоколебаний в случае -движения изображающей точки по произвольной фазовой линии Ф, мы ограничимся получением выражения для периода при й = и(1-j-o), когда фазовой линией является прямая X-{-у = Tz. Уравнения «медленного» движения изображающей точки по этой фазовой прямой (уравнения (10.36') при л:= и), очевидно, запишутся в виде:
dx_ dy__я — 2х
Л dz -J^ + D-1 '
Sin2 X
откуда период автоколебаний (в обычных единицах времени)
\2at-dx--(1_o)]n^|
D I J (я — 2a) sin2 Av ' я — 2хг і '
Xl
где X1 и Xq — соответственно абсциссы точек пересечения фазовой прямой Jt: —j-у = TZ с кривыми (В) и Г, лежащих по одну сторону биссектрисы х=у.
4. Учет паразитных емкостей. В заключение параграфа покажем, как принятая нами гипотеза о характере колебаний в схеме Фрюгауфа вытекает из свойств «доброкачественной» модели этой схемы, построенной при учете хотя бы одного существенного паразитного параметра. Среди различных паразитных параметров, малых, но существенных для колебательных процессов в схеме, по-видимому, основную роль играют паразитные емкости (они изображены на рис. 548 пунктиром). Для наших целей достаточно учесть одну из них (любая из этих емкостей делает невозможными мгновенные скачки анодных токов и напряжений на сопротивлениях /?). Чтобы не нарушать симметрии схемы, мы будем учитывать ниже только малую паразитную емкость C1. В этом случае имеем следующие уравнения колебаний схемы§ 8] схема фрюгауфа 801
(в обозначениях рис. 548):
Cdv-I -L uS'- — ; "gi С dt — + R — — — R >
4 dt — R- 'аЬ
V = Uat — ugi = Ea- Uai -j- Ug „ " = "el — "gl = Ea — "at + Li=/(UgljT Dual), Li= f (UgijT Duail
представляющих собой систему дифференциальных уравнений второго порядка. Если ввести безразмерные токи
___ial ,._^aS
X - г і У- 1>
'о 'о
безразмерные напряжения на конденсаторах С и C1
безразмерное время п малый параметр
V и
2 = Ж'
RC
C1
Ix = -C .
то эти уравнения можно привести к следующей безразмерной форме: ¦ Dx 4- у 4- i> (х) — Dz
i=Dy-X-H*)+D,= Q{Wfg)ft
так как х, у связаны между собой и с да и г уравнениями:
DE1 Rf о
DF
+ = (ю.40а)
„=j4y)-*W + <' + P)«r (10.406)
выражающими их в виде некоторых функций ® и г = ,
как и раньше, — безразмерное управляющее напряжение, выраженное в виде функции безразмерного анодного тока лампы).
Возьмем в качестве фазовой поверхности полученной системы второго порядка цилиндрическую поверхность Ф*, в простран-
26 Теория колебание802
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
стве X, у, г, определяемую уравнением (10.40а) (направляющей этой цилиндрической поверхности является линия Ф на плоскости X, у, а ее образующие параллельны оси z), и построим на ней линию F:
F(w\ Z) = 0,
—-фазовую линию «вырожденной» (с |л = 0) системы (рис. 552).
dF
Вычислим на линии F. Дифференцируя по хе> (при постоянном z) функцию F{w,z), а также выражения (10.40а) и (10.406), имеем:
= + f Wl-IJ + ^,
-*'(*) ? + *'OO-Й-= l-D>
дх ду
откуда, исключая и , получим:
dF А (х,у)
да> Il+O+Ф'W]^ (У)+ [I+0 + 4'(у)] Г W '
Так как знаменатель этого выражения всегда положителен (поскольку <{/^>0), то условие несущественности малой паразитной емкости
Ci <0) , очевидно, сводится к неравенству
Д(х,,у)>0,СХЕМА ФРЮГ АУФА
803
которое выполняется на «восходящих» участках
^c oj'). Таким образом, только в малых окрестностях этих
участков F+ фазовой линии «вырожденной» системы можно пренебрегать малой паразитной емкостью C1 (разумеется, при C1 С), — только там фазовые траектории «медленных» движений (с конечными фазовыми скоростями при ja, —>-4-0) близки к линии F и движение изображающей точки отображается (при C1-^C) «вырожденными» уравнениями:
у + Dx + ф' (х)
F= 0
D
Z =у — х,
эквивалентными, как нетрудно видеть, уравнениям (10.36). Тем самым мы получили обоснование первого пункта принятой в п. 2 гипотезы о характере колебаний схемы.
Далее, вне линии F w -> оо при р. ——[— 0, причем ^-^--(-00 над линией F и fW —> — со под этой линией, в то время как z остается конечным. Следовательно, область фазовой поверхности Ф* вне линии F заполнена при jjt. ——[— 0 фазовыми траекториями «быстрых» движений z = const, по которым изображающая точка движется «скачком» вправо (в сторону возрастания ® и л) над кривой F и влево (в сторону уменьшения W и х) под ней, т. е. на участки F+ линии F.