Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 549.
причем
у' Jr ф (Jf') 4. Dx" =у Jr Ф (У) 4. Dx', Ї Д(дг',У)>0.
(10.39)
1) В п. 4 эта гипотеза будет обоснована путем построения «доброкачественной» модели схемы при учете сущестренных паразитных емкостей. Некоторым обоснованием гипотезы может служить то обстоятельство, что нзшэ § 8]
СХЕМА ФРЮГАУФА
797
Эти условия скачка, как обычно, получаются из постулата ограниченности токов и напряжений в схеме, из которого следует, что напряжение V на конденсаторе С (см. (10.35)) должно оставаться неизменным во время скачка анодных токов ламп (напомним, что х и у пропорциональны соответственно іаj и iai).
Если уравнения (10.39) определяют однозначно по заданной начальной точке скачка j (по или fa) концевую точку скачка В (S1 или Bi) внутри интервалов A1 или Ai fa, то сделанная нами гипотеза о характере движения изображающей точки позволит рассмотреть колебания схемы, начинающиеся из состояний, изображаемых точками интервалов A1 и Aifa фазовой линии Ф. Эти колебания схемы, очевидно, будут периодическими и разрывными.
О существовании и количестве действительных ветвей кривой (В) — множества точек В, соответствующих согласно (10.39) точкам f при всевоз-
DEa
можных значениях параметра , —
в самом общем случае ничего сказать нельзя. Если кривая (S) существует, то она симметрична относительно биссектрисы х=у и касается в точках последней кривой Г; кроме того, она — замкнутая, если характеристика ламп имеет насыщение. Заметим также, что первые два уравнения (10.39) определяют на плоскости х, у, кроме' кривой (В), еще кривую двойной кратности, совпадающую с Г. Однако точки кривой Г не лежат в области Д (х,у) 0 и, следовательно, могут не рассматриваться.
В том случае, когда уравнения (10.39J по заданной точке f (по заданной начальной точке скачка) определяют несколько точек В, в постулат скачка должны быть добавлены указания, дающие однозначное соответствие точек j и В.
3. Разрывные колебания схемы. Для дальнейшего рассмотрения этих колебаний необходимо задаться конкретным аналитическим выражением характеристики анодного тока ламп. Будем аппроксимировать характеристику следующей функцией (рис. 550, а):
Рис. 550.
Ia = у- + ~ arctg (Uynp — H0),
модель первого порядка является, по-видимому, доброкачественной (на ее фазовой линии нет точек стыка траекторий), если вся фазовая линия модели лежит р области, где Д (х, у) > 0. Именно в этой области лежат участки Al f і и Ai •(*, 798 разрывные колебания [гл. x
где Is— ток насыщения, 5 — наибольшая крутизна характеристики и и0 — то значение управляющего напряжения, при котором Ia =
= ^-Is и fia = S. Решая это уравнение относительно управляю-^ упр
іцего напряжения Uynp = ugDua и полагая масштаб силы тока
X = K-If., у — TtIfL (OsgATsgz, 0 's 's
мы получим для приведенных (обратных) характеристик ламп: -iXultal = K*) = ^o-a ctgx, = ^w = е.-a Ctgу,
где а = и а0 = -^г-; при этом <[>' ^a (рис. 550, б). Тогда
согласно (10.36), (10.37), (10.38) и (10.39) мы получим: уравнение фазовой линии Ф
(1+Я)(*+JO-в (ctg Jf-I-CtgJO = *, (10.37')
где
. nDEa 0 ,
Ь=~Ж,—2а°'
уравнения движения изображающей точки по фазовой линии:
dx _ х_у , д л
dz ~ д (х,у) i ' ' sin8j- j'
/ ; (10.36'
dy. = х-у f і_|_д_|__
dx &(х,у) I ' ' Sin1AT )' J
где т = --новое, безразмерное время;
уравнение кривой Г — геометрического места начальных точек скачков
Д (*,,) = (Я + - J- ) (л + « ) -1=0 (10.38')
и условия скачка:
у" — а ctg х" + Dx" =J/' — а ctg х? -f Dx', х" — а ctgj/" + Dy" = Xr-O Ctgj/ + Dy'
' 1 J
(10.39')
Так как анодные токи могут меняться только в пределах 0то физический смысл имеют только те точки плоскости -jc, j/, которые принадлежат квадрату 0 sS jc =^ it, 0 j/ it. Нетрудно также видеть, что фазовая линия Ф при любых значениях параметра § 8] СХЕМА ФРЮГАУФА
799
b проходит через вершины этого квадрата A1 (0, it) и Ai (it, 0) (рис. 551), причем при & = it (1-)-0) фазовой линией Ф является прямая X -\-у = it. Далее, так как Д (x,j/) Д (-^-, = (Z) -)- а)3—1,
то кривая Г, определяемая уравнением (10.38), существует при D-\-a<^ 1, т. е. при
RS (1 —?>)>1;
TT
кроме того, она является замкнутой кривой и симметрична относительно прямых:
X =J/; X -У-у = It;
Я Tt
х=2'> У = Т--
При D -(- а <[ 1 кривая (?), определяемая уравнениями (10.39'), также существует, лежит в области Д (лг,у) 0, т. е. вне кривой Г, и является замкнутой и симметричной относительно прямых лг=_у и х-(- Рис. 551.
-j-_y = it, причем каждой начальной
точке скачка 7 соответствует единственная концевая точка скачка В, лежащая по другую сторону биссектрисы лг = _у.
Поэтому движение изображающей точки (начинающееся для определенности из точки а) носит следующий характер (рис. 551): начав двигаться из точки а, изображающая точка придет по фазовой линии Afl1 в точку If1, откуда, скачком перейдет в точку B1 на фазовой линии Л473. Далее, двигаясь по линии .43y3, она снова попадет на кривую Г в точке ^3, откуда произойдет скачок в точку Bi, далее движение по фазовой линии Afl1 до точки -J1 и т; д. Таким образом, в схеме устанавливаются периодические разрывные колебания переменных X и у (т. е. анодных токов ламп и напряжений на сопротивлениях R), соответствующие «разрывному» предельному циклу Bfli -t-*- Bfl1 -г-»- Bu состоящему из двух траекторий «медленного» движения Bflj и Bfl1 и двух скачков ^1 -f-»- B1 и -f-» Bi.
