Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
построенной на плоскости х, у (точнее, в ее квадранте х^0, у ^ 0). Эта фазовая линия, равно как и разбиение ее на траектории уравнений (10.36), симметрична относительно биссектрисы у = х. Далее, на ней
IIgtflg <°- (•*•«>
т. е. у убывает с возрастанием х, так как <|/(лг)]>0 и (_у)]> 0; поэтому, если t|/ является непрерывной функцией, что мы будем предполагать, то фазовая линия Ф является всюду гладкой кривой и не может быть замкнутой. Соответственно рассматриваемая нами схема не может совершать непрерывных периодических колебаний, так как правые части уравнений (10. 36) являются однозначными функциями точки фазовой линии Ф. § 8] СХЕМА ФРЮГАУФА
795
Рассмотрим движение изображающей точки по фазовой линии Ф. Прежде всего отметим, что уравнения (10. 36) имеют единственное состояние равновесия (лг0, _у0), лежащее на биссектрисе х =у и опре-
I ПР
деляемое согласно (10.37) уравнением: ^ (лг0) -j- (1 -}- D) X0 =-i- -??2-.
I RIо
Далее, согласно уравнениям (10.36) изображающая точка движется по линии Ф по направлению к состоянию равновесия (х0, _у0) в тех точках линии Ф, где Д(лг, _у)^>0, и в направлении от этого состояния равновесия там, где Д (лг,.у) <^0. Поэтому состояние равновесия схемы устойчиво, если Д (лг0, _Уо)^>0> и неустойчиво, если Д (х0, _у0) <^0.
Построим на плоскости х,у симметричную относительно биссектрисы X =у кривую
Д (лг, у) = 0, (10.38)
которую мы будем называть ради сокращения кривой Г. Если эта кривая существует'), то могут представиться два случая: DE
1) Параметр ° таков, что фазовая линия Ф не пересекает кри-
Hl о
вую Г. Тогда на Ф всюду Д (x,v)^> 0, и изображающая точка (а следовательно, и рассматриваемая схема) при любых начальных условиях приближается при возрастании t к состоянию равновесия (лг0, _у0)9).
DE
2) Параметр д таков, что фазовая линия Ф пересекает кри-
Rl о
вую Г. В этом случае на линии Ф существуют такие расположенные симметрично относительно прямой у = Х точки f (аг', У), в которых Д (х, _у) = 0 и которые вследствие этого являются точками стыка фазовых траекторий уравнений (10.36). Эти точки не являются состояниями равновесия, и в то же время к ним идут изображающие точки при любых начальных условиях (но на линии Ф нет траекторий, отходящих от точек f)-
Появление на фазовой линии точек стыка траекторий, как и всегда, означает «дефектность» принятой модели, означает существование таких параметров схемы, которые являются существенными для колебаний в схеме, но которыми мы «по наивности» («в силу их малости») пренебрегли, означает, наконец, возможность появления разрывных колебаний. Для рассмотрения последних нам нужно или учесть существенные малые параметры или же дополнить нашу
') Она заведомо существует при lJflmin "<1 — А так как тогда на биссектрисе у = X имеются точки, в которых Д (аг, у) С 0, а с другой стороны вблизи осей координат (при малых х или у) А (х, у) > 0, поскольку там ф' (х) или могут быть сделаны сколь угодно большими; следовательно, в силу непрерывности функции Д (х, у) будет существовать такое геометрическое место точек, в которых Д (лг, у) = 0, т. е. кривая Г. Если характеристика лампы имеет ток насыщения /s, то ф' (z) —+ со при z -> IsIIn и кривая - Г- будет замкнутой.
а) Ту же картину мы получим при всех Ea, если кривой Г не существует, ибо тогда Д (аг, ^) >0 во всех точках любой фазовой линии Ф (для любого E^), 796
РАЗРЫВНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
[гл. X
«дефектную» модель первого порядка соответствующим образом сформулированной гипотезой скачка.
2. Постулат скачка. Пойдем сначала по пути дополнения «вырожденной» модели первого порядка (уравнений (10.36)) постулатом скачка. Пусть для определенности фазовая линия ф пересекает кривую Г в двух точках: 7i(.vJ, и -(3 (х2, у2), причем а:2=_у! и у'2 = х[ (рис. 549). Так как эти точки стыка фазовых траекторий всегда являются граничными точками отрезков фазовой линии, на
которой неучтенные нами малые параметры (или, точнее, некоторые из них) являются существенными для колебательных процессов в генераторе и на которой, следовательно, наша «вырожденная» модель непригодна для описания колебаний в схеме, то нам в первую очередь нужно указать те из трех участков ^iTi> TiTa и тИа фазовой линии Ф, на
которых колебания схемы могут быть отображены уравнениями (10.36) с некоторой степенью точности, если эти паразитные параметры малы.
Мы примем следующую гипотезу о характере колебаний в схеме:
1) На участках A1^1 и A2 7а фазовой линии ф, на которых А (х,у) 0, неучтенные нами малые, паразитные параметры несущественны для процессов в схеме, в силу чего там имеют место «медленные» изменения состояний схемы, описываемые уравнениями (10.36). Наоборот, на участке f, f2 имеют место только «быстрые» движения изображающей точки, уводящие ее с f, fa; там уравнения (10.36) не отображают не только количественно, но и качественно законов колебаний схемы ').
2) Когда изображающая точка, двигаясь по участку Afll (или A17?) фазовой линии Ф в соответствии с уравнениями (10.36), приходит в точку (или f2), то дальше она совершает мгновенный скачок в некоторую другую точку B1 (а:|',_у") (или в В^(х'2> у'2)) внутри одного из интервалов A1^1 или Ai ^a фазовой линии ф, определяемую следующими условиями скачка:
