Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
того, что в разложение входят вековые члены, т. е. члены, содержащие t в нетригонометрическом виде. Подобным же образом и в решении (9.76), начиная со следующего приближения, начнут появляться вековые члены, которые не нарушат периодичности функции у, а лишь немного .изменят ее период '). Можно написать полученное периодическое решение и без вековых членов, если писать сразу все тригонометрические функции с правильными периодами, для чего нужно в аргументы всех тригонометрических функций ввести поправку на частоту. Вследствие малости ее можно считать равной поправке на период, деленной на 2тг и взятой с обратным знаком. После этого решение принимает вид:
у = K cos
2я
1 — \
2л
+ ...) t + «
{ j {/(tPo-cPo) sin[
T2H2
2ji
F{ 2«)
D (2л)
cos
f(
2л
t
j}
і — и j (III — f-... (9.77)
Наконец, заметим, что в силу общей теории (см. гл. V, § 8) условие устойчивости рассматриваемого периодического решения y(t) имеет вид:
J'f'$[y(t),y{t)]dt<0
или, ограничиваясь первым членом разложения у (t) по р:
2иФ' (TiTt) = (*),?„ (0 }dt < 0. (9.78)
Выражению, стоящему в правой части последнего неравенства,
') Напомним, что мы рассматриваем случай С(2л) = 0, когда функция С (t) является периодической с периодом 2л.
Если же С (2л) 4= 0, то, несмотря на условие С (2л) = 0, функция С (t) не будет периодической и уже в первом приближении для у (в члене [а С (t)) появятся вековые члены, не нарушающие периодичности функции у ((), но изменяющие ее период на величину порядка ц. § 6] ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПУАНКАРЕ 703
нетрудно дать простую интерпретацию: это постоянный член (умноженный на 2іг) в разложении в ряд Фурье функции
/у (Ki cos Z, — Ki Sin Z), где Ki — соответствующий корень уравнения (9.72).
§ 6. Применение метода Пуанкарг
1. Ламповый генератор с мягким режимом. Для иллюстрации метода Пуанкаре мы исследуем уравнение, к которому приводит рассмотрение обыкновенного лампового генератора (рис. 465) при мягком установлении автоколебаний. Как мы убедились, в этом случае можно ограничиться кубической характеристикой лампы (9.37). Для разнообразия мы не будем считать сейчас малым затухание
колебательного контура ш0RC ^как и раньше, ш0 = ^ j. Тогда уравнение колебаний генератора
X + лг = { ш0 (.MS0 — RC) + 2u)0MS^ — 3w0MS^>2} лг,
где лг = — (иа — некоторый масштаб напряжения) и точкой сверху
uo
обозначено дифференцирование по безразмерному времени Zhob = = (I)0Zct, близко к уравнению гармонического осциллятора только при выполнении условий
IO0IAlS0-КС |< 1, 2uyW I S11 M0 < 1 и Зш0ЖХ<1,
т. е. вблизи границы самовозбуждения генератора и при малой нелинейности характеристики лампы. Обозначив
u>0(MS0 — RC) = [xaf, 2 (U0/VISiM0 = p?'
и
ЗаJ0MS2^ = PY, (9.79)
где р. — малый параметр (0<^р<^1), а а', ?' и Y— величины порядка единицы, мы приведем уравнение колебаний генератора к следующему виду:
Зіг лг = ц (а' Р'лг — Y Xі) лг. (9.80)
Это уравнение как раз такого типа, для которого нами был развит метод Пуанкаре. Поэтому мы дальше можем действовать по шаблону. В нулевом приближении периодические решения уравнения (9.80) имеют вид:
ср0 (Z) = ^cosZ, ®0 (Z) = - К sinZ, (9.81) 704 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
причем К определяется из уравнения
2ж
С (2т) = — j («' + ?' К cos и — іKi cosi и) (— к sin и) sin и а?и=
т. е.
К3 = 4+.
= ^faf-Jf-Ka)= О,
(9.81а)
Легко убедиться, что С (2л) = 0, т. е. что в первом приближении нет поправки на период автоколебаний. Далее,
= -Tr(X)X, V- = O.'JrVx-I*Ta
и, следовательно,
df
дх df
дх
= (?' — 2i'К cos и) (— sin и), = а' ?'A" cos н — f'/C3 cosa и.
Интегрируя эти выражения в пределах от 0 до 2л, имеем (см. (9.68в)): D (2л) = 2л (у — І ATa)= — 2ла', D (2л) = О,
поэтому поправка на период (см. (9.75))
F( 2«)
I = IX-Tsi:
Для нахождения поправки на период, а также для написания периодического решения с точностью до членов порядка [X нам нужно вычислить функцию C(t) и выражения F(2л) и F (2л). Эти вычисления дают:
С (O=J (а' + ?' Ar cos и — f' Ara cosa и) (— К sin и) sin (t — и) du =
= — (2 sin t — sin 2t) -f- І— (3 sin t — sin U), 2it
F(2л)= J { f^J C(H) + C(H)} cos Udii =
=-?- rr
¦m-TKt^K
(Jl
zu
F(2к)= J {(в) + [-?-'j C (H)} sin HrfH = O, § 6] ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПУАНКАРЕ 705
так как выражение под интегралом — функция периодическая (с периодом 2it) и нечетная.
Таким образом, поправка на период
+ 11") ^9-82)
а периодическое решение в виде (9.76), т. е. без вековых членов, с точностью до членов порядка (х3 может быть записано так 2):
+'{(-SF+t/FWM'+']+ +^¦«¦»[(•-sM-fvT-'K'-s)«+']}+
+ 0(|л3). (9.82а)
В большинстве случаев для практики главный интерес представляет только выражение для амплитуды (9.81а). Второе приближение мы вычислили для того, чтобы, с одной стороны, показать, как производить вычисление, с другой — чтобы подчеркнуть, что решение принципиально содержит высшие гармоники, которыми при линейном рассмотрении всегда пренебрегают.
