Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Составим уравнения (9.69) сначала в общем виде, не полагая P2 равным нулю. Для этого мы должны прежде всего составить выражения у(2л+ т) и_у(2л + т). Поскольку т мало по сравнению с 2л, мы можем разложить у и у в ряды вблизи значения 2л.
Ограничиваясь членами первого и второго порядка малости, мы получим:
у (2я х) =у (2л) + ту (2л) + ^y (2л) + ..., У (2л + т) =J) (2л) + ту (2л) + ^y (2л) + ...
Значения у (2л), у (2л), у (2л) и т. д. мы можем определить, пользуясь их выражениями при помощи рядов (9.60) — (9.62), подставляя вместо функций А, В, С и т. д. их значения при t = 2л, т. е. А (2л), В (2л) и т. д.
Отбрасывая члены более чем второго порядка малости (следует учесть, что порядок малости т не ниже |а), получим:
у (2л + т) = <р0 (2л) + А (2л) P1 + В (2л) ?2 + С (2л) ,a + D (2л) ?lf* +
+ E (2л) р2|л + F (2л) [Aa + т?0 (2л) + тА (2л) P1 + тВ (2л) р2 +
+ тС(2л)[х + -^ ^0 (2л) + ...,
V (2л + т) = Jp0 (2л) + А (2л) P1 + В (2л) ?2 + С (2л) [a + D (2л) ?t|A + 4- Ё (2л) р2;л + F (2л) [Xа + T^0 (2л) + ~А (2л) P1 + хВ (2л) р2 +
+ тС (2л) ,а+ (2л) + ...
Подставляя в эти выражения значения ср0, А и В и их производных при t = 2л и составляя уравнения (9.69), получим:
j, (2л + т) - J/ (0) = - К + тр2 + С (2л) [а + С (2л) T1A +
+ D (2л) pUA + E (2л) р2|А + F (2л) ,Aa = 0, (9 70)
у (2л + т) — > (0) =— tfc — Tp1 + С (2л) [А +С (2л) т|А + + D (2л) PlfA+ Ё (2л) р2|А + F (2л) [Aa = 0.,
Из этих двух уравнений можно определить как функции параметра |а поправку на период т и одно из двух ? (в нашем случае P1), если 700 нелинейные системы, близкие к гармониЧ. осциллятору [гл. ix
другому ? (?2) приписано какое-либо определенное значение (например, 0). Подставим разложения этих величин в степенные ряды')
t = jvc1+,*, + ...,j
P1=HP11+... J
в уравнения (9.70) и приравняем нулю суммы членов порядка <х: С(2тс) = 0, — ^! + 0(2^) = 0.
Первое из этих уравнений 2*
С(2п) = — [/(К cos и,— Ksin и) sin Iidu = 0, (9.72)
о
или по (9.12)
Ф (К) = 0,
определяет радиусы К[ тех окружностей, вблизи которых при малых [j, имеются предельные циклы. Второе уравнение определяет поправку на период первого приближения:
2*
t1 = С= I /(/Ccos и, — К sin и) cos и du, (9.73)
Kl Ai J
О
или по (9.12)
т1 = -2«ЧГ (Ki).
Заметим, что приравнивание нулю С(2тс) эквивалентно приравниванию нулю коэффициента Фурье при sin t в разложении функции f(K cos t,- К sin t).
Приравнивая нулю суммы членов порядка в уравнениях (9.70), получим уравнения 2):
AT^+ D (2«) P11 +F (2«)= 0, j (9 74) — + С (2«) t1 + [о (2«) - t1] P11 + F (2«) = 0, J
которые определят P11 и поправку на период второго порядка т2, если только D (2тс) ф 0.
') В разложениях т и Р, в ряды по степеням [л свободные члены должны отсутствовать, так как т ->• 0 и ?j —> 0 при —.0. Если задано ?3 ф 0, то оно должно быть величиной порядка (л.
2) Нетрудно видеть, что из этих уравнений ?2 выпадает, так как коэффициенты при ?a
I1 + E (2я) = 0 и Ё (2л) = О, поскольку К является корнем уравнения (9.72), § 5] метод пуанкаре 701
Рассмотрим более подробно интересный с точки зрения практических приложений случай:
С(2те) = 0,
когда T1 = O и поправка на период т является, вообще говоря, величиной порядка [л2. В этом частном случае уравнения (9.74) записываются в виде:
? (2«) р„+F (2«) = 0, -K^JD (2тг) рп + F (2те) = 0 и дают (при D (2іг) ф 0):
— щыу I
т — D (2гс) F (2тс) - D (2гс) F (2гс) | ^9'75)
2 D (2л) К ')
Подставляя найденные нами функции A{t), B(t), C(t) и Pi = = ри (j, -{-... в выражение (9.60) для у и возвращаясь снова к произвольному началу отсчета времени (для чего достаточно заменить t на ^-{-8), мы сможем записать решение нашего уравнения (9.2) (с точностью до величин порядка (j.) в виде:
if
y = tfcos(/ + 8) + ,. { \ /[T0(H),cp0(M)]sin(/ + 8-H)<fo-
+ (9.76)
где К—корень уравнения (9.72).
Сделаем одно замечание по поводу полученного приближенного выражения (9.76) для решения (9.60). Первое приближение (9.76), так же как и нулевое приближение (9.59), имеет период 2тс, в то время как решение (9.59) должно иметь период, несколько отличный от 2tz (и равный 2іг -{- [лат2 -{- ...). Последнее обеспечивается тем, что выражение (9.60) есть разложение по степеням jj. такого ряда Фурье, у которого не только «амплитуда», но и период зависят от [л. Действительно, рассмотрим ряд Фурье
сю
У = 2 Иа (Ijt) cos Gi) t -I- Bk (|а) sin kw (|j.) t] а=О
и разложим его в ряд по степеням (j,; разложение это имеет вид:
со
.V = S И а (0) COS kw (0) t -f- Bk (0) sin kw (0) t} -f-
a=o
+ Ijl S Иа (0) COS kw (0) t -1- Bk (0) sin kw (0) t —
a = o
— Ak (0) w' (0) kt sin kw (0) t -f - Bk (0) w' (0) kt cos kw (0)t] -j- ^ 2 • • • 702 нелинейные системы, близкие к гармониЧ. осциллятору [гл. ix
Несмотря на то, что тригонометрические функции входят только
2л
с периодом
2л
'(O)
, у есть периодическая функция с периодом, не рав-
ным ^qji если P 7е 0. Это изменение периода получается вследствие
