Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
= o + D=/;(tPo> ^i4 (tpo> ^,j BJB = 0, EjE=fy(^,^,)BJf\ (4>e,4>0)?, (9.64)
С+ C=ZOp0, т0). ^+^=/;(то> т0) CJfy (?0, ?0)C.J
Кроме уравнений (9.64) мы еще должны знать начальные условия, которым подчиняются функции А, В, С, D, Е, F. Сопоставляя выражения
P1 =у (0) - (p0 (0) и P2 =jj (0) - Ф0 (0) (9.65)
с выражениями для у и у (9.60) и (9.61), мы можем найти значения А, В, С, Dt Е, F и А, В, Ct Dt Ё, F при ^=0. Мы получим:
A(O)=I, A(O) = O, B(O) = OtB(O)=I,
C(O) = C (0) = D(O) = D(O) = E (0) = (9-66)
= E(O) = F(O) = F (0) = 0.
Первые два из уравнений (9.64) при начальных условиях (9.66) имеют решения:
A= cos t, B=Slnt.
Чтобы найти остальные функции С, D, Et Ft определяемые уравнениями (9.64) и начальными условиями (9.66), нужно знать в общем 696 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
виде решение уравнения х-{-х = Ф (*)> удовлетворяющее начальным условиям X = Xz=O при t = 0. Это решение, как известно, имеет вид:
t t X = § Ф (и) sin —¦ и) du, X = ? Ф (и) cos (t — и) du.
Поэтому
А (t) = cos t, В (t) = sin t,
A{t) = — sin t, В (t) = cos t,
C(t) = § [f] sin (t — и) du, C{f) = l t/1 cos (t — и) du,
о о
t
D {ty= И [fr]cos"- [?F]sin M}sin {t ~u) du> 0
t
D (/) = J { [Ц-] COS U - ] Sin U } COS (t — И) du,
0
t
E {t) = И [%]sin" + [A ]cos"}sln {t ~ u) dl1'
0
t
?(*)=${[ f,] sin « + [ ] cos и } cos (t - u) du,
0
t
F (0 = J { ] C (u) + J С (и) } sin (t - u) du,
0
t
p w = [ {[fr]c (")+I -fr] C (")}cos C -")d-
(9.67)
Здесь и ниже выражения /,
df д/
~дУ ' ~dj~» взятые в квадратные скобки, обозначают, что в эти выражения вместо у и у подставлены соответственно
% (и) = K cos и и ф0(и) = — Ksinu. Так как нам понадобятся значения этих функций при / = 2^1),
') Напомним, что мы ввели для времени новый масштаб, приняв за единицу времени 2^-, где T — период собственных колебаний системы. Вследствие этого время у нас стало безразмерным и длительность одного периода колебаний выражается безразмерной величиной 2я, 697
§ 5] МЕТОД ПУАНКАРЕ
то мы их сейчас выпишем:
А( 2іс)=1, Л(2я) = 0,
В (2тс) = О, В (2тс) = 1,
5 тс
С (2я) = —^f [К COS и, — К sin н) sin и du,
2ж
С (2тс) =J/(/<"cos и, — К sin и) cos и du,
2т.
D (2.) = J { _ j [*.] sin 2н + [V j si„2 „ } du,
о
2it
6 (2я) = $ {\w\cos* tt-i[w\sin 2"}
о 2*
? (2-) = J { - [ fr] si"a « -1 J "n 2« } du,
о
2iz
E (2.) = J { і [sin 2« + [*L\ cos« « } du,
O
2it
F (2«) = - J { [ С (и) +1 J C (и) } sin H du,
о
2it
F (2«j = J { [IC (H) + f-g-1 C (H) }cos U dH.
Последние выражения для D(2ir), D(2ic), f(2ic), ?(2ir) можно несколько упростить. Используя тождества:
¦ (9.68)
tf-ЙГ{[/]«« н} =
К
sin
—HSl-Muh1*
^ ІГ { W sin « } = Ц- cos „ - [? j sin. a - [ ? ] sin 2,.
можно привести их к такому виду:
2«
=JffP"-
а: '
С (2п)
К
(9.68а)
?(2«)=_^С(2Я), ?(2*) = +С(2іг). 698 нелинейные системы, близкие к гармония, осциллятору [гл. ix
В частности при С(2тс) = 0 имеем:
2it 2 тс
о о
?(2it)= — -C(Itz), ?(2іг) = 0.
Наконец, если C(Itz) = C(Itz) = 0, то
2тс Ї7І
я (21O=Hflrf*'
С(2к)
К
(9.686)
?(2те) = 0,
E (2тт) = 0.
(9.68в)
Заметим, что в последних формулах (9.68в) величинам D (2тс) и D (2тс) можно дать простую интерпретацию: это — постоянные члены в разложении в ряд Фурье функции j и соответственно j, помноженные на Itz. Величины же С(2тс) и C(Itz) суть коэффициенты при sinZ и cosZ разложения в ряд Фурье функции /(<р0, <р0), помноженные на 2тс. Если функция /(<р0, <р0) есть многочлен, то эти величины можно вычислить непосредственно по тригонометрическим формулам (см. Дополнение III).
Перейдем теперь к отысканию периодических решений среди решений (9.60) уравнения (9.2) при jj. ф 0. Пусть период некоторого периодического решения равен itz + х, где х—малая поправка на период (при [а — 0 т—0). Тогда, приравнивая у(2ъ-\-х) и у (2tz + х) соответственно^ (0) = ср0 (0) + ?j и у (0) = ср0 (0) + ?a, мы получим уравнения:
j, (2,: + ,)-^(0) = ^(plf р„ x, [1.) = 0, У (2ТС + t) —У (0) = (?i, р„ (х) = 0,
(9.69)
определяющие это периодическое решение. Это — два уравнения с тремя неизвестными ?lf ?2 и x, причем P1 и ?2 — произвольные постоянные нашей задачи. Нас интересуют периодические решения, но если мы определим какое-нибудь одно периодическое решение, то их будет существовать бесконечное множество, отличающихся друг от друга на произвольную фазу. Поэтому, как уже указывалось, по существу задачи одно из ? должно остаться совершенно произвольным. Можно, например, не нарушая общности, одно из них положить равным нулю. Если при этом уравнения (9. 69) можно разрешить относительно т и другого ? таким образом, что при р = 0 т = р = 0, то наша задача решена. Если эгого не удается сделать, то в запасе остается еще один вариант, а именно, положить равным § 5] метод пуанкаре 699
нулю другое р. Мы сейчас убедимся, что в нашей задаче предположение ?a = 0 приводит к положительным результатам. Если бы мы исходили из решения tp0 = К sin t, т. е. полагали, что в порождающем решении 8 = — у (а не нуль), то пришлось бы воспользоваться вторым вариантом, т. е. положить P1 = O.
