Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
в первом приближении равна нулю, т. е. что ( — ) —• 0. Тогда,
\И- /|1 -»о
если все-таки оказывается нужным определить поправку на период, необходимо обратиться к следующим приближениям. Ввиду важности этого вопроса для теории колебаний мы этот вопрос затронем в дальнейшем.
2. Метод Пуанкаре для систем, близких к линейным. Теперь мы переходим к систематическому изложению метода Пуанкаре. Мы рассмотрим одно дифференциальное уравнение второго порядка специального вида, особенно интересное с точки зрения теории колебаний и ее практических применений, а именно, уравнение системы, близкой к гармоническому осциллятору:
У+У = Pf (у. у). (9-2)
где 1-і — произвольный положительный параметр, который можно выбрать достаточно малым; f{y, у) — функция, разлагаемая в ряд по степеням у и у. При р = 0 уравнение (9.2) имеет решение:
у = K cost. (9.58)
Общим решением уравнения (9.2) при р = 0 будет, конечно, у = = К cos (t -(- 8), но вследствие автономности рассматриваемой системы мы можем 8 дать вполне определенное значение, в частности положить его равным нулю. Если мы затем найдем близкое к нему решение при р ^b 0, то в этом решении можно затем снова положить фазу произвольной. Как сказано, не при всех значениях К будут существовать периодические решения уравнения (9.2), близкие к (9.58). Наша задача заключается в том, чтобы найти, при каких значениях К существуют такие периодические решения уравнения (9.2).
Поясним нашу задачу с точки зрения представлений на фазовой плоскости. Так как уравнение (9.2) не зависит явно от времени, 694 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
то фазовые траектории образуют систему непересекающихся кривых на плоскости у, у. При [л = 0 уравнение (9.2) имеет решение:
j/ = /Г cos Z = ср0 (Z), (9.59)
где К—произвольная амплитуда (фазу мы не выписали по известным уже соображениям, но также и она остается произвольной). Решения при |j, = 0, если рассматривать эти решения на фазовой плоскости у, у, представляют собой семейство концентрических окружностей.
Решение (9.59) мы назовем порождающим решением. Для р ф О мы будем искать такие периодические решения,-которые при р->-0 стремились бы к порождающим решениям у = Cp0 (Z). Мы увидим, что не для всех значений К такие периодические решения существуют. Наша задача будет заключаться в том, чтобы найти К тех порождающих решений ср0 (Z), в области которых возникают периодические решения уравнения (9.2) при р ф 0, а также определить изменение периода по сравнению с порождающим решением. Таким образом, с точки зрения фазовой плоскости у, у мы можем первую часть нашей задачи сформулировать так: при р = О интегральные кривые представляют собой семейство окружностей; при [i^O окружности превращаются в спирали, и только некоторые из интегральных кривых остаются замкнутыми, т. е. превращаются в предельные циклы. Требуется определить значение К для тех окружностей, вблизи которых возникают предельные циклы.
Как мы уже упоминали, существует доказательство того,' что решения уравнения (9.2) можно представить в виде степенных рядов, составленных по степеням р, и разностей начальных значений ?i = —У (0) — tP0 (0) и ?a =у (0) — ср 0(0), абсолютно и равномерно сходящихся для достаточно малых значений р, ?j, ?a на любом заданном конечном промежутке времени [0, Z1]. Следовательно, можем написать:
= ?, (О + ^1 + ??a + C1. + + E^1X + F1X2 + ..., (9.60)
где А, В, С, D, Е, F,... — какие-то, пока неизвестные, функции времени. Для определения этих функций мы поступим следующим образом. Продифференцировав ряд (9.60) по времени сначала один раз, а затем второй, мы получим выражения для у и у также в виде рядов:
-V = (0 + A Pi + B^ + C1X + DpllX + ??2p +^« + ...,(9.61)
-V = (0 + ^1 + ??.2 + Cp + Dfo + + Fixi + ... (9.62)
Так как мы рассматриваем значения у и у, близкие соответственно к значениям ср0 (Z) и ср0 (Z), то функцию f(y, у) мы можем разложить в ряд Тейлора вблизи значений ср0 (Z) и ср0 (Z). Применяя § 5] МЕТОД ПУАНКАРЕ 695
для аргументов у и у опять выражения в виде рядов (9.60) и (9.61), мы получим ряд Тейлора для функции f(y, у) в таком виде:
/О. >)=/[?„ (0. То (01 + + /; [?0 (О. То (() ] Wi + Bh + Qa + dfo + Eh(a + fix1 + ...] +
jTf':, [То. То] Hp1 + Bh + Qa + ...] + ^fiy [tPo. То] Wx + Bh +
у
-f Qa -J- .. .]1 Jfyy [ь> ъ] [Ah + Bh +Qa -f. . .] [Apl + Bh + Qa + . ..] +1/-у. [ср0, ср0] Hp1 + Bh + Qa + . . .]2 + . . . (9.63)
Подставляя выражения для у, у и f(y, у) в исходное уравнение (9.2) и приравнивая нулю сумму коэффициентов при членах, подобных относительно P1, P2 и [а, мы получим систему неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и с периодической правой частью. Число этих уравнений зависит от того, до какого порядка малости мы будем вести разложение рядов. Если при разложении и подстановке ограничимся только членами не выше второго порядка малости, то мы получим шесть уравнений, определяющих шесть функций А, В, С, D, Е, F:
