Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
x = x0(Z, К) = К costa у=уйЦ, Ar) = AAr sin (W1Z-f-/')- (9.55)
1. Идея метода Пуанкаре. Прежде чем перейти к систематическому изложению теории Пуанкаре, мы приведем вкратце основную идею и одновременно точно сформулируем математическую задачу. Такое введение поможет легче разобраться в дальнейшем изложении. Пусть нам известно решение уравнений (9.52) при р = 0, т. е., другими словами, решение уравнений (9.53). Пусть это решение будет х = ха it, К)\ у =Уа (t, К)- При Z = O имеем: X = X0(O1Ar)1 _У=_У0(0, К), где К—«амплитуда». Слово «амплитуда» мы ставим в кавычках, имея в виду, что уравнения, получающиеся при ;л = 0, вообще говоря, могут быть и нелинейными, но консервативными. (В дальнейшем, однако, мы будем считать, что при р = 0 уравнения превращаются в линейные.) Рассмотрим теперь решения уравнений (9.52) при fjL ^r 0. Пусть это будут: x = x(Z, К), y=y(t, р, К), принимающие значения X = X0 (0, К) -f- Pi,У=Уо (0, К) -f- Pa при Z = 0; P1 и P2— некоторые достаточно малые величины. Пуанкаре ищет эти решения в виде степенных рядов по P1, ?2 и [л и доказывает их сходимость при достаточно малых значениях ?j, ?2 и р, равномерную внутри любого заданного конечного интервала времени 0 Z Z1 (этого доказательства сходимости мы не приводим). Коэффициенты этих степенных рядов суть функции времени. Эти функции можно вычислить, приравнивая коэффициенты при равных степенях ?1( ?9 и [j, в выражениях, получившихся после подстановки в уравнения (9.52) вышеупомянутых степенных рядов. Для определения этих функций получатся линейные уравнения с определенными начальными значениями. Итак, для X и у мы получаем некоторые выражения:
x = x{tt [X, P1, р.2, К), y=yit, [X, P1, р„ К). (9.56)
Посмотрим теперь, при каких условиях эти решения будут периодическими. Пусть период решений уравнений нулевого приближения (эти уравнения по нашему предположению линейны) будет Т. Период решений нелинейных уравнений будет, вообще говоря, другой, но так как мы ищем решения, мало отличающиеся от решений 692 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧ. ОСЦИЛЛЯТОРУ [гл. IX
линейных уравнений, то и период искомых решений должен быть близок к Т. Поэтому мы можем положить, что новый период есть Т-\--, где т •—• некоторая небольшая «поправка на период». Очевидно, что для того, чтобы решения (9.56) были периодическими с периодом Т-\-х, нужно, чтобы X и у при t = 0 и при t=T-\-x имели одинаковые значения. Действительно, если мы получим в момент t =T Jx те же значения переменных х и у, как и в момент t= О, то в силу теоремы Коши и автономности системы с момента t=T-{-x мы получим повторение того, что происходило, начиная с t = О, т. е. наши решения действительно будут периодическими с периодом Т-{-х. Итак, условия периодичности сводятся к соотношениям:
х(Т+х, ,A, P1, Р„ Ю — X (О, P1, Р„ /О = 0, j/ (Г + т, ц, P1, Ba, К) —У (0, |х, р1; р„ К) = О,
которые, ввиду того, что T есть заданная величина, можно переписать так:
Ф (т, P1, Р„ К) = о, W (X, р, р„ P2, Ю = о. (9.57)
Мы получили таким образом два уравнения с тремя неизвестными х, P1, р2, но ввиду того, что уравнения автономны и фаза произвольна, мы можем одно из р зафиксировать, например положить р2 равным нулю. Тогда мы получим одно вполне определенное периодическое решение; после того как это периодическое решение будет найдено, прибавляя к нему произвольную фазу, мы снова восстановим потерянную произвольность.
Так как при ;х = 0 мы должны получить периодические решения с периодом Т, т. е. без поправки на период, то очевидно, что при [j, = 0 и т = 0 удовлетворяется условие периодичности и функции Ф и 1F обращаются в нуль. Следовательно, ;а есть общий множитель, и уравнения (9.57) можно переписать так:
рФі (-Г. P. Pi. Pa, к) = о, рЧГ, (1, (x, P1, р2, к) = о
и условия существования периодических решений системы (9.52) будут иметь вид:
Pi' Р» *)=0. 4rI (jr. P' Pi' Pa- ^) = 0-
Для того чтобы при |j, = 0 P1 = т = 0, нужно, чтобы эти уравнения не содержали свободных членов. Приравнивая нулю эти свободные члены, мы получим вполне определенные значения для амплитуды
К и первого приближения поправки на частоту ( — ) . Следовательно,
VM- /И-»О
в рассматриваемом случае могут существовать периодические решения, но не со всякими значениями К, а только с вполне определенными. В соот- МЕТОД ПУАНКАРЕ
693
ветствии с этим одна из основных задач может быть сформулирована следующим образом: при р = О мы имеем бесчисленное множество периодических решений с произвольными амплитудами, но при р ^ О только вблизи некоторых вполне определенных амплитуд сохраняются периодические решения. Требуется найти значения этих амплитуд. При этом для решения вопроса о форме автоколебаний мы часто можем ограничиться линейным приближением, и знание нелинейности нам нужно только для того, чтобы определить величину амплитуды этих колебаний. Из условий для амплитуд, в случае если в уравнение движения входят какие-либо параметры, можно установить условия бифуркации между периодическими решениями, а также между периодическими решениями и положениями равновесия. Вторая часть задачи состоит в определении поправки на период т. Во многих практически интересных случаях оказывается, что она
