Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
1 = 2(1,+?,
где X1 и ха — корни системы уравнений (8.92), определяющей неподвижную точку преобразования П.
Таким образом, условие существования автовращательного режима работы паровой машины сводится к неравенству
vo>v;
или согласно (8.906) и (8.916)
(X— 1)(1 —??-хї)^>??т§ — 1. (8.93)
Рассматриваемая нами динамическая модель паровой машины имеет
три независимых параметра: X, 8 и А, которые характеризуют соответственно движущий момент паровой машины, «угол отсечки» пара
*) Так как теперь и' > и при v = v'0, но по-прежнему и' < и при v —> + со, то в силу непрерывности функций соответствия (8.90) и (8.91) существует по крайней мере одна точка пересечения графиков этих функций, построенных на общей диаграмме (см. рис. 462), т. е. существует по крайней мере одна неподвижная точка преобразования П. Выше на основании неравенства (8.92а) были доказаны устойчивость и единственность этой неподвижной точки.
Предельный цикл
Отрезки покоя
If=O
Рис. 463. 648 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ ГЛ. VIII
и коэффициент вязкого трения нагрузки и через которые выражаются введенные выше параметры a, a, b и ?:
X — 1 , 1 л , Qs
. ^T=T' b==T> Р =
Сообразно с этим можно взять трехмерное пространство параметров л, в, h (точнее, его часть Х^>1, O<^0<^ir, h~j> 0) и рассмотреть его разбиение на область существования автовращательного режима работы машины (с жестким установлением), в которой выполнено условие (8.93), и на область остановки машины при любых начальных условиях, в которой условие (8.93) уже не выполняется.
Уравнения пограничной поверхности, разделяющей эти области, запишутся в виде:
(X — 1) (1 — е_т°) = — 1 и уравнений (8.90а) и (8.91а): § 10]
ПАРОВАЯ МАШИНА
649
или в параметрической форме:
X—1=-
етз— 1
1— <Г"Т1
= 1
є12 — 1 — т8
• 1 Т0_ J +в-т? '
V = і И - 1 - X» + (X - 1) K - 1 + ?-*)].
(8.94)
Уравнения (8.94) позволяют сравнительно просто построить сечения пограничной поверхности плоскостями X = Const1). Эта пограничная поверхность изображена на рис. 464. Так как при увеличении параметра 0 (остальные параметры X и Л фиксированы) возрастают а и tJ, а р и уменьшаются, то в области над пограничной поверхностью условие (8.93) будет выполнено, т. е. над пограничной поверхностью лежит область существования автовращательного режима работы паровой машины.
') Если задаться некоторым значением параметра X > 1 и серией значений т}, то первое уравнение (8.94) определит соответствующую серию значений а два остальных уравнения — соответствующие значения в и Л, т. е. координаты точек кривой, являющейся сечением пограничной поверхности выбранной плоскостью X = const. ГЛАВА IX
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧЕСКОМУ ОСЦИЛЛЯТОРУ «
§ 1. Введение
Перейдем теперь к изложению количественных методов рассмотрения автономных динамических систем (с одной степенью свободы), близких к консервативным системам. При этом мы ограничимся наиболее простым случаем, именно системами, близкими к линейной консервативной системе (к гармоническому осциллятору). Уравнения движения таких систем могут быть написаны в виде уравнения второго порядка2):
л:* = Ij-/(*>
') §§ 1 и 3 переработаны Н. А. Железцовым; п. 2 § 3, § 4 и п. 1 § 7 написаны им заново.
') Уравнение системы, близкой к гармоническому осциллятору, в обычных переменных имеет вид:
d*v . . „/ dv
где X — время, «о — циклическая частота, г» — зависимое переменное, например напряжение или ток, ц — так называемый малый параметр, который мы будем предполагать не имеющим размерности и который определяет близость рассматриваемой системы к линейной консервативной. Вводя безразмерное
независимое переменное f = «0т и безразмерное зависимое переменное х
где V0 — некоторая определенная физическая величина, имеющая такую же размерность, как и v (например, напряжение насыщения или ток насыщения), получим уравнение (а) в виде:
X -f X ~ (J. —Ц- F (v0x, V0V0X', (J.)
V0W0
или, обозначая
1 F (v0x, tf0oi0x; Ij-)=/(х, х; р.),
в виде:
* + x = \>-f (х, х; р.). ф)
Заметим, что часто преобразование уравнения системы, близкой к линейной § 1] ВВЕДЕНИЕ 651
или, если ввести у = х, в виде двух уравнений первого порядка:
Х=у, y = — x + \>.f{x, у). (9.2)
Здесь JA — безразмерный положительный параметр, который мы в дальнейшем будем полагать достаточно малым. Величина этого параметра при заданной функции f(x, у) определяет степень близости рассматриваемой системы к гармоническому осциллятору.
Типичным примером систем, близких к гармоническому осциллятору, является (конечно, при определенных условиях) ламповый генератор с колебательным контуром в цепи сетки (рис. 465, а) или
в цепи анода (рис. 465, б) и с фиксированным смещением. Уравне* ние колебаний такого генератора (при пренебрежении анодной реакцией, сеточными токами и паразитными параметрами, в частности внутриламповыми емкостями и емкостями монтажа), как известно, записывается в виде:
консервативной, к виду (?), весьма удобному для теоретического исследования, можно провести иным путем: например, можно ввести малый параметр и одновременно привести уравнения к безразмерному виду и т. д.
