Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
После пересечения с полупрямой V фазовая траектория L переходит в область (II): в =? Ь 0, где ее уравнениями будут:
z = -b-\-(v + b) e~ht.
( = в—« + ]-(v+b)(\-e-ht)
21« 644 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ ГЛ. VIII
^b а= у; кроме того, мы выбрали новое начало отсчета времени так,
чтобы 0=6 и z = v при ^= 0). Если траектория L пересекает
полупрямую LP, то ордината этой точки пересечения определится из следующей системы уравнений:
Ъ
» +
K = Q-
и' = — b -f (V -f Ь) е-ч-,
здесь T 4 = Wa, где ^2-
время пробега изображающей точки по траектории L в области (II) от полупрямой V до полупрямой U'. Разрешая эти уравнения относительно и' и V, мы получим (также в параметри-
ческой форме) функцию соответствия точечного преобразования IT2 полупрямой V в полупрямую LP, осуществляемого траекториями в области (II):
(8.91)
где
._h (к—в)
Ь
: A2 (те — 0).
Обозначим через т° значение т2, соответствующее и' = 0 и определяемое поэтому уравнением
еЧ— 1 — T^ =
(8.91а)
этому значению параметра т2 мой V с ординатой
3 соответствует точка полупря-v = v': = b (е^ - 1) = Ь (Р + T20). (8.916)
Очевидно, что только точки v^v'l полупрямой V преобразуются траекториями в области (II) в точки полупрямой LP (н'^О). Точки полупрямой V с ординатами преобразуются в точки «от-
резка покоя», так как траектории, выходящие из этих точек полупрямой V, входят в «отрезок покоя», не пересекая полупрямой U\ § 10]
ПАРОВАЯ МАШИНА
645
Дифференцируя (8.91), получим: du' v
dxs
e--2 -
T<°-
dv dx*
¦ e—'i
<0
du' V _ ^ „
-j— = —і e~T* ^> 0, dv u' '
(8.9 їв)
т. е. и и V являются монотонно убывающими функциями параметра та, и, следовательно, множеству точек полупрямой V: v^v'o, пре-> образующихся траекториями в области (if) в точки полупрямой If, соответствует множество значений параметра преобразования T1;
¦ „о _0
. Так как и' — г» = — M?-bTa)> 10 и'<^v— при всех ті (при ха —> -1— 0
0<' 0<'
и'->© — причем и',
оо). График функции соответствия (8.91) точечного преобразования Па приведен на рис. 460.
Интересующее нас «полное» точечное преобразование П полупрямой U в полупрямую U' является произведением найденных преобразований II1 и П2:
H = H1-H,.
Неподвижная точка этого преобразования («' = U = UtV = V, T1 =T1, Ta = T4), соответствующая предельному циклу, охватывающему фазовый цилиндр (т. е. соответствующая автовращательному режиму
Точки, преобразующиеся в точки «отрезка покоя»
Рис. 460.
работы паровой машины), очевидно, определяется следующей системой трансцендентных уравнений:
? + xs
а 1
(8.92)
(ясно, что а T1: для нее
I 4=IL1 = Ь\-\ + -і+за
-..X01 и 0<^a<T°). Согласно (8.90в) и (8.'91в),
/Г і Гл —— * /О
du'
dv' du 646 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ ГЛ. VIII
следовательно, неподвижная точка, если она существует, является устойчивой и единственной1).
В зависимости от значений параметров системы h, X, 0 возможны два качественно различных случая. Если параметры системы таковы, что то неподвижных точек преобразования П не существует
(рис. 461)а), все последовательности точек пересечения траекторий
Рис. 461. Рис. 462.
системы с полупрямыми U и U' конечны, причем последние точки этих последовательностей преобразуются в точки «отрезков покоя». Следовательно, в этом случае все траектории системы входят в «отрезки покоя», т. е. паровая машина останавливается при любых начальных условиях.
1J Устойчивость неподвижной точки непосредственно следует из теоремы Кенигса, ее единственность — из того обстоятельства, что если бы преобразование П имело несколько неподвижных точек, то по крайней мере для одной из них (в силу непрерывности и и и' — функций V и их производных du du'\
dv И ~dv ) имел0 °ы место неравенство
du' du .
невозможное согласно (8.92а).
s) Так как при v'0<Cv" ц'<» как при v = v", так и при ® — + со, то графики функций соответствия (8.90) и (8.91), построенные на общей диаграмме (на диаграмме Ламерея), или не пересекаются совсем (тогда неподвижных точек преобразования П не существует) или же имеют четное число точек пересечения (т. е. имеется четное число неподвижных точек преобразования II). Последнее согласно доказанному выше невозможно. § 10] ПАРОВАЯ МАШИНА
647
Если же fo ^fo'. т0 точечное преобразование П имеет единственную и устойчивую неподвижную точку, к которой сходятся все последовательности точек пересечения траекторий с полупрямыми U и U' (рис. 462)Поэтому на фазовом цилиндре существует единственный и устойчивый предельный цикл, охватывающий цилиндр, и к этому предельному циклу асимптотически (при ^->-|-оо) приближаются все траектории, пересекающие полупрямые U и U'. Так как, кроме того, имеются устойчивые состояния равновесия, составляющие «отрезки покоя» на фазовом цилиндре, то имеет место жесткое установление автовращательного режима работы паровой машины. Разбиение фазового цилиндра для этого случая изображено на рис. 463. Период установившегося автовращательного движения вала машины, очевидно, равен (в единицах безразмерного времени)
