Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
fr — її _ _
предельному циклу, в области (Г) равно -j- и в области (ll)z2=v—и,
т. е. период вращения вала машины (в единицах безразмерного времени) равен:
2Х
* = 2 (Ti + т2> - і-T (v — u) =
-X - 1 I A p
/
,г \а
^l0O-Tj
¦ 2(Х ¦
§ 10] ПАРОВАЯ МАШИНА
641
Итак, надлежаще выбранный регулятор скорости вращения вала стабилизирует работу паровой машины: при наличии такого регулятора становится возможной устойчивая работа паровой машины на «постоянную» нагрузку. Аналогичное стабилизирующее действие на работу паровой машины оказывает и нагрузка, момент сил которой возрастает с увеличением скорости вращения вала. Такая нагрузка делает невозможным неограниченное нарастание скорости вращения вала, поскольку при таком нарастании имело бы место также неограниченное нарастание работы (за каждый оборот вала) сил, действующих на машину со стороны нагрузки. Поэтому паровая машина будет работать устойчиво на нагрузку, возрастающую с увеличением скорости вращения вала, и без всякого регулятора.
3. Машина, работающая на нагрузку, зависящую от скорости. Рассмотрим динамику паровой машины в предположении, что ее нагрузка создается силами сухого и вязкого трения, т. е. что момент сил нагрузки
Mll--
М, если ^=O и M^Ml L Ml, если ^ = 0, но М*>МІ,
где М% — максимальный момент трения покоя, a H—коэффициент характеризующий возрастание момента сил нагрузки с увеличением скорости вращения вала (//^>0). На нагрузку такого характера работает, например, паровая машина парохода.
При такой нагрузке уравнения вращения главного вала машины (в переменных, введенных в п. 1 настоящего параграфа), очевидно запишутся в следующем виде:
Ъ = г, г = ХФ (0) — W (z, 0) — кг, (8.89)
где Ф (0) и Ч?" (z, 0)—функции, определенные соотношениями (8.85а) и (8.84а),
X ^>1 и h=-1M=^0,
mH ущ1
причем «угол отсечки» пара в снова считается постоянным.
Разбиение полосы фазового цилиндра 0, z системы на
траектории уравнений (8.89) изображено на рис. 458; разбиение на траектории полосы ^=^8^2^ цилиндра тождественно совпадает с разбиением полосы поскольку правая часть второго
уравнения (8.89) является периодической функцией угла поворота вала машины 0 с периодом, равным тс. Как и раньше, на окружности Z=O фазового цилиндра имеются два «отрезка покоя» 21 Теория колебаний 642 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ ГЛ. VIII
и it -(- 0 < 0 2it, состоящие из устойчивых состояний равновесия; траектории на нижней половине фазового цилиндра или входят
в «отрезки покоя» или же переходят на верхнюю половину цилиндра; кроме того, на фазовом цилиндре системы нет траекторий, переходящих с его верхней половины на нижнюю. Поэтому, как и в п. 1 настоящего параграфа, изучение динамики паровой машины, работающей, на нагрузку, возрастающую с увеличением скорости вращения вала машины (и, в частности, задача нахождения ее периодических движений), сводится к рассмотрению точечного преобразования полупрямой U (0 = 0,z = h>0) в полупрямую If (0 = it, z=u'^> ^>0), осуществляемого траекториями системы на верхней половине фазового цилиндра. Для вычисления функции соответствия этого точечного преобразования рассмотрим траекторию L1 проходящую через некоторую произвольную точку и полупрямой U (рис. 458). Интегрируя уравнения (8.89) в области (/): 0 0 0, z 0, получим уравнения этой траектории в области (Г):
z = a-\-(u — а) е~ы,
где
Х —1 ^ п в = -й->0.
Эта траектория обязательно пересечет правую границу области (J) — полупрямую V (0 = 0, z = v^> 0), так как в области (Г) O = z^>0 и 0 на дуге ОСО<^0 окружности z=0. Если обозначить время пробега изображающей точки по траектории L в области (I)
через tl = ~-l то это время пробега и ординатах» точки пересечения
траектории L с полупрямой V, очевидно, определятся следующей системой уравнений:
v = a-\-(u — а) е~ ті. § 10] ПАРОВАЯ МАШИНА 643
Разрешая полученные уравнения относительно и и v, мы получим (в параметрической форме) функцию соответствия для точечного преобразования II1 полупрямой U в полупрямую V, осуществляемого траекториями в области (Г):
«-•['+rf^l- '«['+та]-
(8.90)
где
а_Л9_ Zt8Q
Точке к = 0 полупрямой U соответствуют значение параметра T1, равное т° и определяемое уравнением
х{— 14-е~т?=а (8.90а)
(очевидно, т°]>а), и последующая точка на полупрямой V с ординатой
V = V0= а(\ — e-T?) = a(xJ — a) (8.906) (ясно, что 0<^o<Ca)- Далее, поскольку
du=a-(l-g-Ti)-(Ct-T1)e-^ = у
/ч -—Т«\в 1 -—T« ^4s- '
^x1 (I _ е—Чу I _ е-Ч
dv-=a -(gTl-l)-(«-ti)gTl = и <Q
(Ixl (еч _ JJ, еч _ J \
и
du du dv f , \ А /о г>л \
и и V являются монотонно убывающими функциями параметра T1; поэтому множеству значений координаты и от 0 до -{-оо соответствуют множества значений параметра T1 от т} до 0 и координат
последующих точек V от v'o до -{-оо. Заметим также, что ^ =-{-оо
при и = 0 (и V = v'o), и — v = a(a— T1), в силу чего и = V = а при T1 = а (эти точки принадлежат прямолинейной траектории z= а в области (I)), u<^v<^a при а<Сті<С'сі> u^>v^>a при O^t1 и и -»- V -{- аа. при T1 -»--{- 0 (и, v -»- -j- оо). График функции соответствия (8.90) преобразования II1 изображен на рис. 459.
