Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
(рис. 453), и это обстоятельство существенным образом изменяет функцию соответствия интересующего нас точечного преобразования.
Для вычисления функции соответствия рассмотрим траекторию L, выходящую из некоторой произвольной точки и полупрямой U. Если
-г5, то траектория L сначала пойдет в области (I) (0 9 ©о — kz,
Отрезок покоя Рис. 453. § 10] паровая машина 637
0<Cz<Cx)> ее уравнением будет:
г« = и«+2(Х — 1)»,
поэтому она выйдет на границу области (/) на отрезок V в точке, ордината которой v определяется уравнением
я8 = и8+ 2 (Х- 1)(Єо —to). '8.87а)
Далее траектория L идет в области (//), ее уравнением будет:
Z2 = Vі — 2 (8 — 0О + to),
и следовательно, она придет на полупрямую U' в точке с ординатой и', даваемой соотношением
н'* = г»8 — 2 (тс — 0О+ to). (8.876)
Полученные соотношения (8.87а) и (8.876) и определяют (в параметрической форме — через параметр v) функцию соответствия точечного преобразования полупрямой U в полупрямую U' для
Ui = Vi — 2 (X — 1) (0О и'8 = Vі — 2 (тс — 0О + to).
-to), 1 V). J
(8.87)
Конечно, в точки полупрямой U преобразуются только те точки полупрямой U, для которых н'8 = D8 — 2 (тс — 0О + to) ^ 0, т. е.
г, =S-O0 = ? + !/?*+ 2 (тс — в0) >А;
точки полупрямой U, которым соответствуют V D0, преобразуются
в точки «отрезка покоя».
©
Если же U^ то траектория L сразу выходит в область (II), ее уравнением будет:
Z4 = M8- 28,
и следовательно, ордината и' точки пересечения этой траектории с полупрямой U' (или, иначе говоря, функция соответствия для
Q \
и^J определяется уравнением
ип = иъ — 2к.
@
Ясно, что при H^ неподвижных точек рассматриваемого точечного преобразования не существует, и каждая точка полупрямых U и U' с координатой иТЗ^ ~ после конечного числа преобразований 638 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ ГЛ. VIII
преобразуется в точку с координатой Поэтому ниже при по-
строении диаграммы Ламерея можно ограничиться интервалом измене-
A 0O
НИЯ Ii от 0 до т.
к
Кривые (8.87) являются гиперболами и в интересующем нас квадранте диаграммы Ламерея (гг, гг'^> 0, г>^>0) эти гиперболы или не имеют точек пересечения (рис. 454) или же пересекаются в одной
Рис. 454.
точке, соответствующей неподвижной точке к точечного преобразования (рис. 455). Для неподвижной точки (гг = г/ = гг, v = v) имеем:
Vя — 2 (X — 1) (0О — kv) = v* —>2 (it — 0О -f kv),
т. е.
0О — kv = ~ или ?=-^00-у); этому значению v соответствует:
^ = ^_2(X-l)(0o-Ai;)=l(0o-y)S-2(X-l)^.
Так как для неподвижной точки, если она существует, и
"гг2^>0, то условием ее существования будет выполнение неравенств:
Х0О>* и (8.88)
Эта неподвижная точка устойчива, поскольку в ней (в силу очевид- § 10]
ПАРОВАЯ МАШИНА
639
ных неравенств: v г»0 k 0)
% = 2v-2k>0, ? = 2* + 2А(Х-1)>?
и, следовательно,
Таким образом, если условия (8.88) не выполнены, то диаграмма Ламерея имеет вид, изображенный на рис. 454, и все траектории на
Ih
фазовом цилиндре 8, z машины идут в точки «отрезков покоя» (рис. 456), т. е. машина останавливается при любых начальных условиях.
Если же условия (8.88) выполнены, то все последовательности точек пересечения траекторий с полупрямыми UnU' сходятся к единственной и устойчивой неподвижной точке й (рис. 455). Это, очевидно, означает, что на фазовом цилиндре существует единственный и устойчивый предельный цикл, охватывающий цилиндр и соответствующий поэтому автовращательному режиму работы машины, и к этому предельному циклу асимптотически приближаются все траектории, пересекающие полупрямую U или U' хотя бы один раз
') В случае kcO, т. е. в случае неправильного включения регулятора, неподвижная точка также будет существовать, если выполнены условия (8.88), но будет обязательно неустойчивой, так как при k < 0 •
„ du du' du' .
О < — < или -j-- > 1. dv dv du 640 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ ГЛ. VIII
-(рис. 457)'). Кроме того, на фазовом цилиндре имеются и траектории, входящие в «отрезки покоя» (эти траектории не пересекают полупрямых U и U'). Поэтому при выполнении условий (8.88) мы
Z
&=0
S0 Отрезки
покоя
#=в0 Рис. 456.
Предельный у/цикл
-IL0
Отрезки покоя
Рис. 457.
имеем дело с жестким режимом возбуждения автовращательного режима работы машины: в машине будет устанавливаться автовращательный режим (с определенным, не зависящим от начальных условий периодом вращения главного вала машины), если начальные условия выбраны так, что изображающая точка при t = 0 находится вне областей притяжения «отрезков покоя» (области притяжения «отрезков покоя» состоят из точек траекторий, входящих в «отрезки покоя», и их границами являются траектории, приходящие в точки (в, 0) и (те 0О, 0); эти области на рис. 457 заштрихованы).
') Период автовращательного движения можно вычислить следующим образом. Согласно второму уравнению (8.83) г = X — 1 в области (/) и Z = — 1 в области (11). Поэтому время пробега изображающей точки, двигающейся по
