Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Uli = Vi-2(11-0)1)
или
Uri = M2 + 2 (XQ — ТГ).
Это соотношение и определяет (в явном виде) функцию соответствия для точечного преобразования П точек полупрямой U (с ординатами и) в точки полупрямой U' (с ординатами и')2).
Диаграммы Ламерея в трех возможных случаях: а) б) Х8=т: и в) Х0<^тг, изображены на рис. 447—449 (по осям отложены м2 и и'2, тогда графики функции соответствия будут прямыми линиями). При и'9^>и2 (рис. 447), поэтому последовательность ординат точек пересечения любой траектории с полупрямыми UnU' является неограниченно возрастающей и фазовые траектории, охватывая цилиндр, уходят в бесконечность (т. е. машина идет «в разнос»). При Ш=и и'2 = «2 (рис. 448) и все точки полупрямой U (или U') являются неподвижными точками преобразования II. Следовательно, в этом случае система является «квазиконсервативной»: через каждую точку полупрямой U проходит замкнутая
Траектория, выходящая из точки (©, v), приходит на полупрямую U'
только при V :>= У 2 (п — 0). В этом случае точка v полупрямой V имеет
последующую на полупрямой U'. Если же v < У2 (п — ©), то траектория,
выходящая из точки (0, V), придет на «отрезок покоя» 2=0 и
точка V полупрямой V не будет иметь последующей на. полупрямой U'.
8) При все точки полупрямой U имеют последующие на полу-
прямой U'\ если же XO < те, то последующие на U' имеют только те точки полупрямой U, для которых
и* Sz 2 (л — Х0). 634 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ ГЛ. VIII
траектория, охватывающая цилиндр (машина может работать с любой средней скоростью вращения вала; значение последней определяется
•< от резок покоя»
Рис. 447. Рис. 448. Рис. 449.
начальными условиями). Заметим, что как при X0^>ir, так и при Х0 = 1г на фазовом цилиндре существуют «отрезки покоя» с некоторой
областью притяжения, т. е. и в этих случаях можно задать такие начальные условия, при которых машина остановится. Наконец, при (рис. 449), когда все последовательности точек § 10]
ПАРОВАЯ МАШИНА
635
пересечения траекторий с полупрямыми U и U' являются монотонно убывающими и конечными. Действительно, если обозначить через U1 ординату первой точки пересечения некоторой траектории с полупрямыми U и U', то для я-й точки пересечения, где П = Е [2 (д — ХЄ)] 1 l^'
ордината ип<^У 2 (те — -Ш), т. е. эта точка не будет иметь последующей в точечном преобразовании П, а соответствующая траектория, не пересекая более полупрямых UnWt придет к одной из точек «отрезка покоя». Таким образом, в случае Х0<^те все траектории входят в «отрезки покоя», т. е. машина останавливается при любых начальных условиях. Раз-биения на траектории фазового цилиндра o, Z для этих трех случаев изображены на рис. 450—452. Так как X = M0
полученные ре-
'Ml
то
Отрезки покоя
зультаты, очевидно, совпадают с результатами приведенного выше энергетического рассмотрения.
Таким образом, паровая машина не может работать устойчиво на «постоянную» нагрузку: она или останавливается или идет «в разнос». Для получения устойчивого режима Рис. 452. работы машины на «постоянную» нагрузку, при котором вал машины вращается с некоторой заданной средней угловой скоростью, не зависящей от начальных условий, т. е. для получения устойчивого автовращательного режима паровая машина должна быть снабжена регулятором скорости вращения вала.
2. Паровая машина, работающая на «постоянную» нагрузку и снабженная регулятором. Рассмотрим динамику паровой машины, работающей на «постоянную» нагрузку и снабженной регулятором скорости вращения вала. Одна из наиболее распространенных схем регулирования паровой машины состоит в следующем: с валом машины связывают датчик угловой скорости вращения вала (тахометр),
Через Е{х) обозначена целая часть л:, т. е. E (х) = / (/ = 0, 1, 2, .. .) при /sg: л- < /-(- 1. 636 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ ГЛ. VIII
,Z'в
который управляет (или непосредственно или через соответствующую сервосистему) золотником машины, уменьшая «угол отсечки» пара, а следовательно, и работу движущего момента при увеличении скорости вращения вала машины. Считая этот регулятор «безинерцион-ным», т. е. срабатывающим мгновенно, мы будем полагать теперь, что «угол отсечки» в не является постоянной величиной, а является некоторой (для простоты — линейной) функцией скорости вращения вала 6 = z:
0 = 0О — kz,
где k 0 — коэффициент передачи регулятора, а 0О — «угол отсечки» при i> = 0. Остальные предположения относительно движущего момента и момента нагрузки оставим прежними.
Разбиение на траектории фазового цилиндра f>, z такой динамической модели паровой машины с регулятором во многом сходно
с только что рассмотренным разбиением: на окружности Z = 0 имеется два «отрезка покоя» и
л 0О =? 9 2л, которые состоят из устойчивых состояний равновесия, все траектории на нижней половине цилиндра идут к «отрезкам покоя» или же переходят на верхнюю половину цилиндра, а изучение хода траекторий на верхней половине фазового цилиндра (при ^^>0) по-прежнему сводится к построению и исследованию точечного преобразования полупрямой ?/(8=0, z = u^> 0) в полупрямую U'(Ь = TZ1 z = u'^> 0), осуществляемого этими траекториями. Как и в предыдущем случае, траекториями на верхней половине фазового цилиндра являются параболы (8.86а) в области (/), где движущий момент M = M0, т. е. ф ({))=1, и параболы (8.866) в области (II), где движущий момент М = 0. Но теперь границей областей (I) и (II) является не образующая »=0 = const, а наклонный отрезок V ^8=0О — kz,
