Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
а) Именно, граничные точки каждого интервала (aj) являются концевыми точками соседних отрезков (bj), а концевые точки каждого отрезка (bj) являются в свою очередь граничными точками соседних интервалов (aj). § 8] РЕЛЕЙНАЯ СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ 619
изучаемая нами релейная система имеет жесткий режим возбуждения автоколебаний.
Интересно отметить, что граница, разделяющая области притяжения предельного цикла и интервала состояний равновесия, не является неустойчивым предельным циклом, как это было в ранее рассмотренных динамических системах с плоской фазовой поверхностью. Этой границей являются фазовые траектории, проходящие через пограничные точки интервала состояний равновесия. Такая сравнительно необычная структура разбиения на траектории фазовой поверхности рассматриваемой сейчас системы обусловлена, конечно, многолистно-стью этой поверхности.
6. Динамика системы при сильной коррекции по скорости. Нам остается рассмотреть движение системы при ?^>l'). Разбиение на траектории полосы (I) (реле выключено) для этого случая было изображено на рис. 429. По-прежнему на этой полосе изображающие точки двигаются по прямолинейным фазовым траекториям
? + (1 — ?) у = const
по направлению к оси абсцисс, но теперь, в отличие от уже рассмотренного случая
dl P-I-^u-
Обозначим, как и раньше, через 5 и S1 те части границ листов (III) и (II), через точки которых изображающая точка переходит на полосу (/), и через S координаты точек этих полупрямых (_y = -}-s
ft
на полупрямой S =—/.е, У<^о и У — —5 на полупрямой S':
S = -\- Xe, у — р _ J j . Тем же способом, что и при не-
трудно получить следующие уравнения точечного преобразования полупрямых 5 и S' самих в себя, осуществляемого фазовыми траекториями системы:
1_|_Х т_ (I-X)6 1_|_х
1- P^I5 - в_1)(1_0 при
. , 1— X . т — (1— XW 1-Х
6 + 0-1)(1-0 при 5^p-=H ?'
,' = 1 I '-О-*)«
(P-I)(^-I)
(8.79)
(здесь S — координата исходной точки полупрямой 5 или SrlS1 — координата последующей точки на тех же полупрямых). Точки полу-
*) Напомним, что этот случай может быть реализован только в следящей системе (рис. 425), так как в релейной системе автоматического регулирования (в системе непрямого регулирования с сервомотором «постоянной скорости» и с жесткой обратной связью; рис. 427) коэффициент ?<l. 620 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
прямых S и S' с координатами —є є, очевидно, пре-
образуются фазовыми траекториями, не выходящими за пределы полосы (/), в точки интервала состояний равновесия на этой полосе. Заметим также, что параметр преобразования т в параметрических выражениях (8.79) — время пробега изображающей точки на листе (II) или на листе (III) — может принимать значения х0 т -)- оо, где т0, как и раньше, — корень уравнения (8.74).
Диаграмма Ламерея для рассматриваемого случая приведена
на рис. 438. Кривая для s нигде не пересекается с кривой для s',—
преобразование (8.79) не имеет неподвижных точек,, и следовательно, на фазовой поверхности нет предельных циклов '). Так как
ds' ^ ds — X
при S^p-je,
то при любых начальных условиях релейная система придет к одному
l) В самом деле, при s^i—^e s — s' = ? і =^s ? T° 1 (отсюда также
ds ds' 1 следует, что -__ = _T>0j;
т. е. согласно (8.65а) является монотонно убывающей функцией, и поскольку (s)t ^to- (s')t = t0 = — YZTxI2C — ?-ZTf xo } < °> кривая для s нигде
1 "И
не пересекается с кривой для s также и при S^ — я—1—г е. § 9] ОСЦИЛЛЯТОР С КВАДРАТИЧНЫМ ТРЕНИЕМ 621
из состояний равновесия, так как все «лестницы Ламерея» (см. рис. 438) приводят после конечного числа ступеней на интервал
1+Х , ^l-*
точки которого, как было указано, преобразуются в точки интервала состояний равновесия. Разбиение фазовой поверхности системы на траектории при изображено на рис. 439.
Подводя итог проведенному рассмотрению, мы можем утверждать, что в изученной релейной системе гистерезисные особенности характеристики реле являются причиной автоколебаний. Однако последние
могут быть подавлены введением достаточно сильной обратной связи (или достаточно сильной скоростной коррекции), причем величина обратной связи (или скоростной коррекции), необходимая для подавления автоколебаний, тем меньше, чем больше мертвая зона реле.
§ 9. Осциллятор с квадратичным трением
Рассмотрим еще раз осциллятор с квадратичным трением, колебания которого описываются уравнением
2х Xі sgn X —X = О 622 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ ГЛ. VIII
или системой уравнений
х=у, Iy = — л: — у* Sgnу (8.80)
(см. § 1 гл. III), и покажем путем построения соответствующего точечного преобразования прямой в прямую, что все его фазовые траектории (на фазовой плоскости х, у), скручиваясь, асимптотически при >-(-оо приближаются к началу координат (0, 0), которое является, таким образом, состоянием равновесия типа устойчивого фокусаРассматриваемая система является системой кусочно-кон-сервативной (а не кусочно-линейной) и интересна с точки зрения теории точечных преобразований своеобразной формой получаемой функции соответствия, а также тем, что устойчивость неподвижной точки, соответствующей состоянию равновесия, не может быть выяснена с помощью теоремы Кенигса.
