Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
а каждому значению т —два значения s, одно из которых больше | ^ е, а
Другое меньше — I-\ ?.
1 ~~ P і__X
s) s0 может быть меньше — -.--Г е. 616 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
Следовательно, любые такие последовательности s0, s1, s9,... имеют своей предельной точкой неподвижную точку S*, а соответствующие фазовые траектории асимптотически (при ^->--|-оо) приближаются к симметричному предельному циклу. Таким образом, в рассматриваемом случае область притяжения интервала состояний равновесия состоит из области A0 и небольших сегментных областей на листах (//) и (III), а вся остальная часть фазовой поверхности представляет собой область притяжения простого симметричного цикла (рис. 436).
У
'.>.' • ' '-I-V..' ! ¦ ' Интервал'-'.'-;-bfji'-'j ¦состояний '^i' WJ-ph, ¦'равновесия -.•л.-:": ;.-.;¦•/.::•.' йШ 3 W°i Г. ' =? 'Предельный ..'• ^i--" цим •
¦ •.: - • ¦..•• • WsSS 1 > 'Ir' 'кх^иС §щ ІЩІІІШ ЬІ '> ij і ***••'.'*• ' * *.' *'
t Ш. г
Рис. 436.
Иная, более сложная структура областей притяжения интервала состояний равновесия и предельного цикла получается при
(•S')min < ]~Tjj 6
Ради краткости мы рассмотрим подробно только случай —| е
< (sr)min когда диаграмма Ламерея имеет вид, изображенный на рис. 433 (такое же рассмотрение и с теми же выводами может быть проведено и при (s')tnin ^==-I _ ^ е). Теперь всегда t*^^!»
а последующие точки пересечения фазовых траекторий с полупрямыми SnS' могут попадать не только вне интервала (а0), но и на него.
') Нетрудно убедиться, что это неравенство имеет место при
I__I_
1 I-Pg
l-f^ § 8] РЕЛЕЙНАЯ СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ 617
Обозначим через 's0 координату точки на полупрямой s^j-i^s,
преобразующуюся преобразованием S1 = П (s) с меньшим значением
1-й ^ I4
параметрах в точку ^ _ ^e, и через (O0) — отрезок ^ _ ^ е ^gjs gg: s01).
Очевидно, последовательность точек пересечения любой траектории с полупрямыми 5 и S':
sO' sI' • • ¦> sk> • • •
с начальной точкой S0 на отрезке (?0) будет бесконечной (причем все точки Sk будут принадлежать этому отрезку) и будет иметь своей предельной точкой неподвижную точку s*, так как для этой последовательности справедливо неравенство (8.78). ' Таким образом, отрезок (?0) является «отрезком притяжения» неподвижной точки S*,
отрезка (Ь0), стремятся при /->-(-оо к симметричному предельному циклу. Точки этих траекторий и образуют область притяжения предельного цикла — незаштрихованную область на рис. 437.
Далее, совершая преобразование, обратное преобразованию s* = = II (s), т. е. определяя по заданным точкам Sr те точки s, которые
') На полупрямой s Sa | имеются две точки, последующей которых
является точка | ^ е. Под точкой 'S0 понимается та точка из этих двух, которой соответствует меньшее значение параметра т. Очевидно, 's0 >¦ s^ в силу неравенства (8.75), а отрезок (Ь„) содержит неподвижную точку s*. 618 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
имеют своими последующими эти точки s', мы, отправляясь от интервала (а„) и (Ь0), разобьем полупрямую s^ — утг| на конечное число
интервалов (O1), (а9), ..., (ат) и отрезков (60), (^1), ... , (Ьт,), точки которых преобразуются фазовыми траекториями соответственно в точки интервала (а0) и отрезка (60) (рис. 433) '). При этом, поскольку интервал (а„) и отрезок (60) имеют общую граничную точку
^точку S= j ^ е], указанные выше интервалы и отрезки будут чередоваться, примыкая друг к другу2). Поэтому мы можем утверждать, что всякая точка s полупрямой (s)^s^—є j преобразуется после конечного числа преобразований s' = II(s) в точку, принадлежащую либо интервалу (а0), либо отрезку (60), а соответствующая фазовая траектория будет асимптотически приближаться или к одному из состояний равновесия или к симметричному предельному циклу в зависимости от того, где (на интервале (а,-) или на отрезке (bj)) находилась первая точка пересечения этой траектории с полупрямой 5 (или S').
Такое же построение интервалов (аг) и отрезков (bj) и с теми же результатами может быть выполнено и при
(s')min =S= — [^I S.
Следовательно, мы можем считать доказанным, что при выполнении условия существования простого симметричного предельного цикла (т. е. условия (8.776)) фазовая поверхность рассматриваемой релейной системы состоит только из областей притяжения интервала состояний равновесия и указанного предельного цикла. Иначе говоря, мы доказали, что в системе не существует никаких других устойчивых стационарных режимов, кроме состояний равновесия и автоколебательного режима, соответствующего простому симметричному предельному циклу. Таким образом, система будет приходить к тому или иному состоянию равновесия или в ней будет устанавливаться автоколебательный процесс в зависимости от начальных условий — в зависимости от того, в какой области притяжения находилась изображающая точка в начальный момент времени. Поэтому при выполнении условия (8.776)
') Построение интервалов (aj) и отрезков (bj) нужно проводить только на полупрямой S^==—j-так так только точки этой полупрямой преобразуются преобразованием s1 = П (s) в точки полупрямой S'. Далее, так как (S1)mln^sCl, то число интервалов (aj) и отрезков (bj) будет конечным, причем последний из них будет включать в себя точки со сколь угодно большими S.
