Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Андронов А.А. -> "Теория колебаний " -> 228

Теория колебаний - Андронов А.А.

Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний — М.: Физ-мат литература, 1959. — 916 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyakolebaniy1959.pdf
Предыдущая << 1 .. 222 223 224 225 226 227 < 228 > 229 230 231 232 233 234 .. 335 >> Следующая


или

1 4- X _ 1 — е-з*

¦-Р

(8.77а)

На рис. 435 изображена плоскость параметров є, и на ней по-

строена кривая (8.77а). Так как согласно того же уравнения (8.74) т0 возрастает при уменьшении ? (и при фиксированных значениях

') Существование неподвижной точки s* > ]~zr| 6 вытекает из непрерывности кривых z=/(s) и s'=g(z) и различных знаков разности s' — впри z = г0 и при г—._|_со, единственность — из монотонности зависимости S1 — S от Z1 устойчивость — из неравенства (8.75). Заметим, что симметричный предельный цикл имеет по одной точке пересечения с каждой из полупрямых ShS'.

2) Так как z* > ^0 > (1 — X) е, то неподвижной точки s* заведомо не су-

ществует, если (1 4- X) е > 2 (1 — ?). 614 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII

/+71 i-fi ' 2

параметров є и X)4), то мы можем, очевидно, утверждать, что под кривой (8.77а) на рис. 435 условие (8.77) выполнено, т. е. там лежит

область существования предельного цикла, а над ней — область «абсолютной устойчивости».

Область_ 5. Структура разбиения

устойчивости фазовой поверхности на тра-

ектории. Рассмотрим более подробно случай

2S

Область

//СушестЬоЬани^^іП-р є 1 + X * 1 — с - _ ^предельного ииш [_ь \-~-> (о./ /О)

W/////////////////Z.

Рис. 435.

когда на фазовой поверхности кроме интервала устойчивых состояний равновесия на полос? (Л (ШО, .У = 0, и = 0) существует еще и симметричный устойчивый предельный цикл (рис. 434). И интервал состояний равновесия, и предельный цикл имеют на фазовой поверхности свои области притяжения — области, состоящие из точек траекторий, асимптотически (при t —>- со) приближающихся соответственно к состояниям равновесия или к предельному циклу.

В связи с этим встает вопрос, исчерпывается ли фазовая поверхность этими двумя областями притяжения, т. е. не имеется ли, кроме двух указанных устойчивых режимов, других, такире устойчивых режимов, к которым система могла бы приходить при соответствующих начальных условиях? Отрицать существование каких-либо других устойчивых режимов, отличных от состояний равновесия и симметричных автоколебаний, без более детального исследования точечного преобразования мы в данном случае не можем. В рассматриваемой динамической системе двузначность функции s = s(z) и наличие нисходящего участка кривой s,==g-(т) (при содержит

в себе, например, возможность существования сложного и, вообще говоря, несимметричного периодического режима, определяемого неподвижной точкой не преобразования s' = ГІ (s), а кратного ему преобразования

? = П{П{П{...{П (*)}...ш = IIn(S).

На диаграмме Ламерея такому сложному периодическому режиму соответствовала бы НЄ ТОЧКа пересечения КРИВЫХ Т =/(s) И Sr = ^r(T), а некоторый замкнутый контур, составленный из чередующихся верги-

1) Дифференцируя (8.74) по ? при фиксированных є и X, имеем:

<0.

дт0 1— є'То

§ 8] РЕЛЕЙНАЯ СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ 615

кальных и горизонтальных отрезков с вершинами на этих кривых. Поэтому для выяснения всех типов движений рассматриваемой релейной системы нельзя ограничиться нахождением состояний равновесия и неподвижных точек преобразования s'=II(s) и исследованием их устойчивости, а необходимо провести более детальное изучение структуры разбиения фазовой поверхности на траектории и, в частности, более детальное изучение структуры областей притяжения интервала состояний равновесия и симметричного предельного цикла.

К области притяжения интервала состояний равновесия при любых условиях принадлежит область A0: |5-|-(1—на полосе (/) (рис. 429, а), которой на полупрямых 5 и S' соответствует интервал

— ^-^ є s j j] р є (будем обозначать его ниже через (а0)). Используя обратное преобразование (преобразование s' в s)*), мы сможем по этому интервалу найти другие интервалы (^1), (а2)..... точки которых преобразуются фазовыми траекториями (или, иначе говоря, преобразованием / = II(S)) в точки интервала (а0), и тем самым разобраться в структуре области притяжения интервала состояний равновесия. Здесь в зависимости от соотношения между (Z)min = (/)Т==Т1 и

і 4-х

j—1—р е возможны два случая.

Пусть (s')min S= ?- Диаграмма Ламерея для этого случая изображена на рис. 432 (для определенности взят случай і* X1). Как видно, все траектории, пересекающие полупрямые 5 и S' вне интервала (а0), имеют последующие точки пересечения с этими полупрямыми (s')min S= j~ZTp?> т- е- также вне интервала (а0), и будут

асимптотически приближаться к симметричному предельному циклу. Для доказательства последнего утверждения рассмотрим последовательность точек пересечения какой-либо траектории с полупрямыми 5 и S'

S4> Si> Si..... Sk< SkJrl< • • • >

где st+1 = П (st), с начальной точкой S0 вне интервала (а^). Очевидно, эта последовательность будет бесконечной, все sk ^ j ^ е (при A^l)2) и для них в силу (8.75) справедливо неравенство:

|s*+i-s*K|s*-s*|- (8-78)

') Заметим, что это обратное преобразование является многозначным, так как каждому значению s'(s')min соответствует одно или два значения 'г,
Предыдущая << 1 .. 222 223 224 225 226 227 < 228 > 229 230 231 232 233 234 .. 335 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed