Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Андронов А.А. -> "Теория колебаний " -> 227

Теория колебаний - Андронов А.А.

Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний — М.: Физ-мат литература, 1959. — 916 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyakolebaniy1959.pdf
Предыдущая << 1 .. 221 222 223 224 225 226 < 227 > 228 229 230 231 232 233 .. 335 >> Следующая


4. Диаграмма Ламерея. Перейдем к исследованию полученных параметрических выражений (8.73а) и (8.736) для функции последования Sj = II(S), используя введенные в предыдущем параграфе вспомогательные функции 1F1 (т) и Qr2 (т) (см. (8.65) и рис. 412). Если положить в (8.65) а = (1—Х)е^0 (напомним, что коэффициент возврата релейного звена — 1 -}-1), то функцию последования

s' = П (s) можно записать в следующем виде:

S =

1

+ 1

1+Х ,V1(X) при s; 1 —P ^ 1 —?



— X

W1 (х)

-P

при S =

S'= 1 —

ЧМх)

I-P'

(8.73)

НИЯМ S

Обозначим через т0 то значение т, которое соответствует значе-

1+Х 1-А

-см — е. 0Н0) очевидно, однозначно опре-

•Р

8И S-

I-P

деляется уравнением

или

V1(T0) = I-P

О — ?) (1 —е~т») = T0 — (1 — X) е

(8.74)

и в свою очередь однозначно определяет начальное (при т = т0) значение координаты последующей точки

(*%=То = *;=1-*-т°= T°7U?~X)e ¦ (8.74а)

При этом (1—X) є <Ст0<^т1, где T1 — значение параметра t, при 20 Теория колебаний 610 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII

котором функция T2 достигает максимума'). Тогда, поскольку 'F1 является монотонно возрастающей функцией т, для получения значений

4-І-д є и — ^-^s параметр преобразования т следует,

1 — р і — р

очевидно, изменять в пределах т0 т -(- со.

') Как и в предыдущем параграфе, Z1 однозначно определяется уравнением ?"1(^1)=1 и является монотонно возрастающей функцией величины ї = (1— X) S (ири малых a T1 = YriZa). Соответствующее минимальное значение

_ і е~~т' JL

^,nin-1 I-Pri* 1—<Г § 8] РЕЛЕЙНАЯ СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ 611

Построим диаграмму Ламерея (рис. 431—433), откладывая по оси абсцисс параметр преобразования -и, а по оси ординат — координаты S и Sr предыдущих и последующих точек пересечения траекторий

с полупрямыми 5 и S'. Прежде всего заметим, что в силу неравенств

dWi

dx

>

rf'l-%

dx

і) и р<1

dA dx

<

«Ts I dr

(8.75)

при любых t^v Далее, из соотношений (8.73) следует, что

при S : при Sl

1 ¦

¦ X

I-P

'I-P

¦ S =

1-р—1

і

[% +



1-Г I-P1

OO при изменении X OT X0

И МОНОТОННО убывает . ОТ — J _ р ? до

до -І-00« так как ^ I1IrI + ^ 21 О и ПРИ ^-»- + со /-»-+l, а

S -»¦ + со. Поэтому точечное преобразование /=II(S) не может иметь неподвижных точек на той части полупрямой 5, которая удовлетворяет условию ssg — j-р?. Неподвижная точка существует

») Это следует из неравенств: ^>0. Jc Fi + 4M > О и [«¦,_«¦,]>О,

доказанных в предыдущем параграфе для любых т >- 0.

20* 612 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII

1+Х

є и при

(и притом единственная) только на полупрямой s:

условии, что so 5?і аТаким образом, в зависимости от знака 1 — (j

L+*

выражения S0—j ' "^s возможны два типа диаграмм Ламерея.

При so<) + ??s кривые т = f (s) и Sr=O-(T), определяемые соотношениями (8.73), нигде (при т^:т0) не пересекаются (рис. 431), и у точечное преобразование

Sr = II(S) не имеет неподвижных точек. Нетрудно видеть, что в этом случае каждая последующая точка Sr лежит ближе к интервалу (8.72а), чем предыдущая s'). Поэтому любая траектория после конечного числа пересечений с полупрямыми 5 и S' будет иметь точку пе-4 ресечения с координатой

— X

о<

I+} і — ё

S (8.72а)

и затем, не выходя за пределы полосы (У), будет асимптотически приближаться к тому или иному состоянию равновесия. Иначе говоря, в рассматриваемом случае имеет место абсолютная устойчивость системы, т.е. установление при любых начальных условиях какого-либо равновесного состояния.

Иная диаграмма Ламерея получается при so ^ ^ е (рис. 432 и 433). Теперь кривые т =/(s) и s? = g(т) имеют единственную точку

Если ввести расстояние точки s до интервала (8.72а) X .1+Х

R =

— S -

— X

: - S

при

при —

при

I-P — X

; е < S <

. —X

то расстояние до этого интервала последующей точки R' конечную величину.

— P

R и притом на § 8] РЕЛЕЙНАЯ СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ 613

пересечения, а точечное преобразование Sr = П (s) имеет единственную неподвижную и притом устойчивую точку s* ?» которая соответствует симметричному предельному циклу на фазовой поверхности (рис. 434)'). Значение параметра преобразования т*, соответствующее неподвижной точке S*, определяется уравнением Sr = S или

[х* _ (і _ X) в] cth J = 2 (1 - ?) - (1 + X) еа). (8.76)

Определим теперь, в какой области пространства параметров системы р, в, X (0<^р<^1, ?^>0, —l^A^-j-l) условие существования предельного цикла

То_(1_Х)г 1+Х

s°——T^?—>Т=ре

і!ли

т0>2є (8.77)

выполнено. Очевидно, в пограничном случае (т.е. на поверхности в пространстве параметров ?, є, X, отделяющей область существования симметричного предельного цикла от области «абсолютной устойчивости»)

т0 = 2в,

следовательно, согласно (8.74) уравнением этой пограничной поверхности в пространстве параметров будет:

(1 — ?)(l — <?-2*) = 2є — (1 —X) є = (1 4-Х) є
Предыдущая << 1 .. 221 222 223 224 225 226 < 227 > 228 229 230 231 232 233 .. 335 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed