Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
4. Диаграмма Ламерея. Перейдем к исследованию полученных параметрических выражений (8.73а) и (8.736) для функции последования Sj = II(S), используя введенные в предыдущем параграфе вспомогательные функции 1F1 (т) и Qr2 (т) (см. (8.65) и рис. 412). Если положить в (8.65) а = (1—Х)е^0 (напомним, что коэффициент возврата релейного звена — 1 -}-1), то функцию последования
s' = П (s) можно записать в следующем виде:
S =
1
+ 1
1+Х ,V1(X) при s; 1 —P ^ 1 —?
— X
W1 (х)
-P
при S =
S'= 1 —
ЧМх)
I-P'
(8.73)
НИЯМ S
Обозначим через т0 то значение т, которое соответствует значе-
1+Х 1-А
-см — е. 0Н0) очевидно, однозначно опре-
•Р
8И S-
I-P
деляется уравнением
или
V1(T0) = I-P
О — ?) (1 —е~т») = T0 — (1 — X) е
(8.74)
и в свою очередь однозначно определяет начальное (при т = т0) значение координаты последующей точки
(*%=То = *;=1-*-т°= T°7U?~X)e ¦ (8.74а)
При этом (1—X) є <Ст0<^т1, где T1 — значение параметра t, при 20 Теория колебаний610 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
котором функция T2 достигает максимума'). Тогда, поскольку 'F1 является монотонно возрастающей функцией т, для получения значений
4-І-д є и — ^-^s параметр преобразования т следует,
1 — р і — р
очевидно, изменять в пределах т0 т -(- со.
') Как и в предыдущем параграфе, Z1 однозначно определяется уравнением ?"1(^1)=1 и является монотонно возрастающей функцией величины ї = (1— X) S (ири малых a T1 = YriZa). Соответствующее минимальное значение
_ і е~~т' JL
^,nin-1 I-Pri* 1—<Г§ 8] РЕЛЕЙНАЯ СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ 611
Построим диаграмму Ламерея (рис. 431—433), откладывая по оси абсцисс параметр преобразования -и, а по оси ординат — координаты S и Sr предыдущих и последующих точек пересечения траекторий
с полупрямыми 5 и S'. Прежде всего заметим, что в силу неравенств
dWi
dx
>
rf'l-%
dx
і) и р<1
dA dx
<
«Ts I dr
(8.75)
при любых t^v Далее, из соотношений (8.73) следует, что
при S : при Sl
1 ¦
¦ X
I-P
'I-P
¦ S =
1-р—1
і
[% +
1-Г I-P1
OO при изменении X OT X0
И МОНОТОННО убывает . ОТ — J _ р ? до
до -І-00« так как ^ I1IrI + ^ 21 О и ПРИ ^-»- + со /-»-+l, а
S -»¦ + со. Поэтому точечное преобразование /=II(S) не может иметь неподвижных точек на той части полупрямой 5, которая удовлетворяет условию ssg — j-р?. Неподвижная точка существует
») Это следует из неравенств: ^>0. Jc Fi + 4M > О и [«¦,_«¦,]>О,
доказанных в предыдущем параграфе для любых т >- 0.
20*612 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
1+Х
є и при
(и притом единственная) только на полупрямой s:
условии, что so 5?і аТаким образом, в зависимости от знака 1 — (j
L+*
выражения S0—j ' "^s возможны два типа диаграмм Ламерея.
При so<) + ??s кривые т = f (s) и Sr=O-(T), определяемые соотношениями (8.73), нигде (при т^:т0) не пересекаются (рис. 431), и у точечное преобразование
Sr = II(S) не имеет неподвижных точек. Нетрудно видеть, что в этом случае каждая последующая точка Sr лежит ближе к интервалу (8.72а), чем предыдущая s'). Поэтому любая траектория после конечного числа пересечений с полупрямыми 5 и S' будет иметь точку пе-4 ресечения с координатой
— X
о<
I+} і — ё
S (8.72а)
и затем, не выходя за пределы полосы (У), будет асимптотически приближаться к тому или иному состоянию равновесия. Иначе говоря, в рассматриваемом случае имеет место абсолютная устойчивость системы, т.е. установление при любых начальных условиях какого-либо равновесного состояния.
Иная диаграмма Ламерея получается при so ^ ^ е (рис. 432 и 433). Теперь кривые т =/(s) и s? = g(т) имеют единственную точку
Если ввести расстояние точки s до интервала (8.72а) X .1+Х
R =
— S -
— X
: - S
при
при —
при
I-P — X
; е < S <
. —X
то расстояние до этого интервала последующей точки R' конечную величину.
— P
R и притом на§ 8] РЕЛЕЙНАЯ СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ 613
пересечения, а точечное преобразование Sr = П (s) имеет единственную неподвижную и притом устойчивую точку s* ?» которая соответствует симметричному предельному циклу на фазовой поверхности (рис. 434)'). Значение параметра преобразования т*, соответствующее неподвижной точке S*, определяется уравнением Sr = S или
[х* _ (і _ X) в] cth J = 2 (1 - ?) - (1 + X) еа). (8.76)
Определим теперь, в какой области пространства параметров системы р, в, X (0<^р<^1, ?^>0, —l^A^-j-l) условие существования предельного цикла
То_(1_Х)г 1+Х
s°——T^?—>Т=ре
і!ли
т0>2є (8.77)
выполнено. Очевидно, в пограничном случае (т.е. на поверхности в пространстве параметров ?, є, X, отделяющей область существования симметричного предельного цикла от области «абсолютной устойчивости»)
т0 = 2в,
следовательно, согласно (8.74) уравнением этой пограничной поверхности в пространстве параметров будет:
(1 — ?)(l — <?-2*) = 2є — (1 —X) є = (1 4-Х) є