Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 430.
') В пограничном случае ? = 1 фазовые траектории в полосе (Г) — вертикальные прямые, по которым изображающие точки асимптотически приближаются к состояниям равновесия: |; | < е, у = 0, и = 0. Траектории, начинающиеся на листах (II) и (III), обязательно приходят на границы этих листов и затем приближаются (при t—>-(-оо)к состояниям равновесия: ?== Xe, jy = 0, н = 0. Таким образом, при ?=l все движения системы являются затухающими, приводящими к установлению равновесных состояний. § 8] РЕЛЕЙНАЯ СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ 607
Изучение траекторий второго типа (траекторий, проходящих по различным листам фазовой поверхности), в частности определение предельных траекторий, к которым они стремятся при возрастающем t, мы сведем, как и в ранее рассмотренных задачах, к исследованию некоторого точечного преобразования прямой в прямую. С этой целью построим на фазовой поверхности (рис. 428) две полупрямые без кон-
O о
такта 5: S =—Xs, у^>—fZTp и S = -]-Хє, у y-!j-p, через точки которых траектории переходят соответственно с листов (III) и (II) на полосу (/)1). На этих полупрямых введем координату s=y (на полупрямой S) и S = —у (на S') с таким расчетом, чтобы симметричным точкам полупрямых соответствовали одинаковые значения коор-
и Sr будут пересекаться все траектории системы, кроме тех, которые стремятся к состояниям равновесия, оставаясь в пределах полосы (/). Поэтому изучение поведения каждой такой траектории можно свести к изучению последовательности ее точек пересечения с этими полупрямыми, в которой каждая последующая точка s', если она существует, однозначно определяется предыдущей точкой s:
Так как фазовый портрет системы, т. е. фазовая поверхность в целом, и разбиение ее на траектории симметричны относительно начала координат, то траектории, проходящие через симметричные точки S полупрямых 5 и S', также симметричны, и следовательно, их последующие точки пересечения с этими полупрямыми будут иметь одинаковые координаты s'. Сказанное, очевидно, позволяет нам не различать между собой полупрямые SkS' (позволяет отождествить симметричные точки этих полупрямых) и пользоваться единым точечным преобразованием s' = П (s) независимо от того, с какой из полупрямых (с 5 или с S') пересекалась рассматриваемая траектория.
Для вычисления функции последования этого точечного преобразования рассмотрим произвольную фазовую траекторию, которая переходит на полосу (I) с листа (III) — для определенности в точке s полупрямой 5 (рис. 428). В пределах полосу (I) этой траекторией будет прямая
динаты S (очевидно, s^>
построенными полупрямыми 5
sr = II(s).
(8.72) 608 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. VIII Поэтому при I — Xs (1 — Р) S I є, т. е. при
(8.72а)
изображающая точка, не выходя за пределы полосы (/), будет асимптотически приближаться к соответствующему состоянию равновесия, а рассматриваемая нами траектория не имеет последующих точек пересечения с полупрямыми 5' и 5. При
(8.726)
изображающая точка выйдет на правую границу полосы (Г) в точке
затем будет двигаться в пределах листа (II) по траектории, определяемой дифференциальными уравнениями (8.716) и начальными условиями: при Z =s 0 S = є, у =Уо, — по траектории
J/ = - 1+(1 е-*,
и обязательно выйдет на границу этого листа — на полупрямую S')1. Обозначим через т время пробега изображающей точки по листу (II). Тогда при Z = T^O S = -I- Xe, _у = — Sr, что дает после использо-
вания соотношения s =Уо -f- ^ ^ 8 следующее параметрическое выражение для функции последования:
.1 + X 1 + X , -= — (1 — X) е 1
у- I1 ^-(I-X) S
^ (I-B)(^-I)'
Наконец, при
(8.73а)
(8.72b)
что возможно только " при ?^>(l—изображающая точка, двигаясь по траектории (8.72), выйдет на левую границу полосы (Г) в точке с ординатой
і 1—х У о = S + -узтр є < 0
>) Мы выбираем за начало отсчета тот момент времени, квгда изображающая точка находилась на правой границе полосы (!), т. е. на прямой ? = -)-6. Здесь и ниже под t понимается безразмерное, новое время /нов. § 8] РЕЛЕЙНАЯ СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ 609
и затем после движения на полуплоскости (III) вернется через некоторый промежуток времени т обратно на полупрямую 5 (в точке s'). Нетрудно видеть, что в этом случае функция последования выражается следующим образом:
при S :
— X
ПН
s = + l s' = -(-1-
¦(1-А).
-P
¦(1
О"
¦X),
-PMi-O'
(I-P)(^-I) •
(8.73 6)
Соотношения (8.73а) и (8.736) полностью определяют интересующее нас точечное преобразование Sr = II (s) полупрямых 5 и S' друг в друга или самих в себя, осуществляемое фазовыми траекториями системы: по координате предыдущей точки s вне интервала (8.72а) однозначно определяется параметр преобразования т, который в свою очередь также однозначно определяет координату последующей точки s' (зависимости т от s и s' от т выражаются функциями не только однозначными, но и непрерывными; будем обозначать их в дальнейшем через т =/(<,•) и s' = g(т)).
