Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
сервомотора «постоянной скорости», то уравнение последнего запишется следующим образом:
dt
+ J- при а > Xa9,
1 S
О при МОо,
-4- "Ри <><—ь0,
( ' S
где о0 и X — ширина мертвой зоны и коэффициент возврата релейного звена — золотника сервомотора (характеристика такого сервомотора совпадает с приведенной на рис. 424, если заменить там U на
^ и U0 на j'). Уравнения остальных линейных звеньев (объекта
регулирования с положительным саморегулированием, идеального чувствительного элемента и жесткой обратной связи) запишутся так же, как и в п. 5 § 6 настоящей главы:
та% + kV = Ъ STJ + <р = 0,
о = 7] — Yp,.
') Если обозначить через / и Д зазор между контактами электрозолотника (рис. 407) и люфт в золотниковом устройстве, измеренные в тех же относительных единицах, что и о, то 604 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
Эти уравнения системы непрямого регулирования заменой переменных
¦ X, б
6, тЛ = -и и U = Tg.
----k*Ts ' s dt ft H0B
приводятся к уравнениям (8.70), причем безразмерные ширина мертвой зоны и коэффициент обратной связи равны соответственно
- + Ik
¦ И ?:
Tft
- + Yft
(0<?<l).
2. Фазовая поверхность. Итак, обе рассмотренные релейные системы автоматического регулирования приводятся к одной и той же динамической системе, описываемой уравнениями (8.70). Для упрощения изучения движений этой динамической системы мы будем пользоваться ниже переменными у = х и Е. В этих переменных уравнения
движения системы могут быть записаны в виде следующих
дифференциальных первого порядка:
уравнений
у = -у-и®, I
Из-за наличия двух зон неоднозначности характеристики релейного звена и = и (E) фазовой поверхностью системы будет трехлистная поверхность, изображенная на рис. 428 и состоящая из полосы (Г): IEI ?, в точках которой и = 0 (релейное звено — в нейтральном положении), и частично наложенных на нее полуплоскостей (II): E>Xs и (///): Е< —Xe, соответствующих включенным состояниям релейного звена (на полуплоскости (II) и = -f- 1 и на полуплоскости (HI) и=—1). Переход изображающей точки с полосы (I) на полуплоскости (II) и (III) происходит только на ее границах, т. е. при E = zt є, а обратный переход — только на границах полуплоскостей (соответственно при E = -j- Xs и при E = — Xe), причем при переходах изображающей точки с одного листа фазовой поверхности на другой ее координаты E,у изменяются непрерывно. § 8] РЕЛЕЙНАЯ СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ 605
Сразу же отметим симмбірию фазовых траекторий друг другу относительно начала координат, что является следствием симметрии характеристики релейного звена и = н(?).
На полосе (I) и = 0 (релейное звено — в нейтральном положении) и уравнения движения (8.71) имеют вид:
У = —У.
или
dy
1
d-
1-f
(8.71а)
Поэтому все точки оси абсцисс в пределах этой полосы (111 f, у = 0, u = Q) являются состояниями равновесия и притом уствй-
Интербап состояний рабнобесия
Рис. 429.
чивыми, так как изображающие точки двигаются на полосе (I) по фазовым траекториям — прямым
$ + (1 — ?).y = Const
по направлению к оси абсцисс (рис. 429). К этим состояниям равновесия, очевидно, асимптотически (при Z->-|-oo) приближаются все траектории, точки которых удовлетворяют неравенству
На полуплоскости (!Г), соответствующей включенному состоянию релейного звена и =-)-1, уравнения движения системы записываются 606 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
в форме:
У +У = S = O
— 1,
(8.716)
Там нет состояний равновесия и все фазовые траектории (или, точнее, их продолжения за границей листа (II)) асимптотически приближаются к фазовой прямой =—1, S =—t -f- const. Изображающая точка,
попав на лист (II), обязательно выйдет по соответствующей траектории на его границу ? = -|-Хє и перейдет на полосу (/). На рис. 430 изображено разбиение листа (II) фазовой поверхности на фазовые траектории (для случая ?<[[l). Фазовые траектории на листе (III) (там и = —1), очевидно, в силу симметрии уравнений (8.71) симметричны с только что рассмотренными траекториями на листе (II).
Поскольку характер движений рассматриваемой нами релейной системы существенным образом зависит от знака разности ?— 1, мы рассмотрим отдельно два случая: ? 1 и ?^>l').
3. Точечное преобразование при ?<0- Начнем изучение динамики релейной системы, изучение разбиения ее фазовой поверхности на траектории, с наиболее интересного случая Разбиения на
траектории полосы (Г) и листа (II) в отдельности были приведены на рис. 429, а и 430. Очевидно, имеются два типа фазовых траекторий, два типа движений системы. Траектории, начинающиеся в точках полосы (Г), удовлетворяющих неравенству | S -f- (1 — §)у | <С.е> асимптотически приближаются к состояниям равновесия системы, не выходя за пределы полосы (/). Им соответствуют движения системы с всегда выключенным релейным звеном, приводящие к установлению того или иного равновесного состояния. Все остальные траектории переходят с листа на лист (но обязательно проходят по полосе (I)) и соответствуют движениям системы с переключениями релейного звена.
