Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
некоторому пространственному запаздыванию а*, но при наличии скоростной коррекции неправильного знака (при наличии «запаздывающей»,
а не опережающей, как раньше, коррекции по скорости ?* < 0). Рассмотрение этого случая ничем не отличается от рассмотрения, проведенного в предыдущем разделе параграфа: будет иметь место та же698 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
диаграмма Ламерея (рис. 413), но с что исключает возмож-
ность существования скользящего режима; все траектории будут стремиться (при f—>--|-оо) к единственному и устойчивому предельному циклу (рис. 420).
В заключение параграфа рассмотрим кратко последний случай: й і* н R*
(3<^1—jg—j-, когда и а* и ?* являются отрицательными величинами. Фазовая поверхность для этого случая изображена на рис. 421. Теперь временное запаздывание авторулевого оказывается эквивалентным пространственному опережению (ибо а* 0) при наличии «запаздывающей» скоростной коррекции ?* 0. Выберем S =у и s' = —у
/ ' В* \
в качестве координат на полупрямых 5 и 5' Is и s'^>s0 =— . „ .
Тогда для функции соответствия точечного преобразования полупрямой 5 в полупрямую S', осуществляемого траекториями на листе (/), будут по-прежнему справедливы параметрические выражения (8.64), если заменить в них коэффициенты а и ? на отрицательные величины а* и ?*:
_ , , т —а*
S— "Г (1-р) (1-е-)'
S' = + 1 —,
(8.69)
(1_Р.)(ЄТ_1) '
В отличие от случая а^>0, рассмотренного в первом разделе параграфа, теперь (при а — а*<^ 0) функция 1F1 (т) (см. (8.65)) имеет при
т = T1, определяемом уравнением a* -j- ez — т—1=0, минимум, равный ет| > 1, в силу чего ^r2 (т) является монотонно убывающей функцией т. Далее, при т —>- + 0
^r1 и Sf2^+ оо, при т-> + оо Wi + оо, а ЧР2 + 0 (рис. 422). В связи с этим каждому значению
— Р*
1 •
соответствуют CO-
Рис. 422.
пересекают ее
продолжение,
R*
=--2" в точках
<У>т±ї
гласно первому соотношению (8.69) два значения параметра т, одно из которых больше, а другое меньше, чем T1'). Это, очевидно, обусловлено тем, что все фазовые траектории, выходящие из точек полупрямой 5, прежде чем придти на полупрямую S', сначала т. е. пересекают прямую + =
(вне полупрямой S'). Поэтому вре-
— 8*
') Нетрудно показать, что в силу (8.68) S0 = ^_^
§ 8] РЕЛЕЙНАЯ СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ 599
менем пробега і изображающей точки по траектории от точки J полупрямой 5 до точки s' полупрямой S1 будет являться большее из двух значений параметра т, соответствующих в силу (8.69) заданному значению s, т. е. в выражениях (8.69) мы должны полагать, что T^v Обозначим через т0 то значение т, которое соответствует начальной точке S0 полупрямой S1). Тогда, так как при
О и йї^О' точкам полупрямой 5: s]>s0 соответствуют
значения параметра причем при изменении х от т0 до
_8*
-)- со S монотонно возрастает от S0 = ^_^ до -j- с0-
Диаграмма Ламерея для рассматриваемого случая ?<^l—^ITJ
вание полупрямой 5 в полупрямую S' и в этом случае имеет единственную и устойчивую неподвижную точку2). Этой неподвижной точке на фазовой поверхности соответствует единственный и устойчивый предельный цикл, к которому (при f-»--[~oo) стремятся все фазовые траектории (рис. 421).
§ 8. Релейная система автоматического регулирования (с мертвой зоной и пространственным запаздыванием)
В предыдущих двух параграфах мы рассмотрели на примере авторулевого систему автоматического регулирования двухпозиционного типа, в которой при любых начальных условиях устанавливаются автоколебания, обусловленные запаздыванием регулятора. В настоящем
') х„, как и раньше, определяется уравнением IrI (х0) = 1 — 2?*, но теперь под г0 следует понимать больший корень этого уравнения t„>tJ.
*) Доказательство существования, единственности и устойчивости неподвижной точки точечного преобразования полупрямой S в полупрямую S' полностью аналогично доказательству,проведенному в первом разделе настоящего параграфа.600 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
параграфе мы займемся изучением динамики несколько более сложной релейной системы автоматического регулирования второго порядка, в состав которой входит безинерционное звено релейного типа с симметричной характеристикой, изображенной на рис. 424 [122, 102] *).
звена U может принимать одно из трех возможных значений: -[- U0, 0 или — U0, в зависимости от значения входной координаты о и от состояния звена в предшествующие моменты времени. Если звено в предшествующий момент времени было «выключено» (Uz= 0, ЧТО ВОЗМОЖНО ТОЛЬКО при I О I O0), то оно останется «выключенным» до тех пор, пока входная координата звена о не выйдет в процессе своего изменения за пределы «мертвой зоны»: |о|<^о0. При достижении границы мертвой зоны это звено «включится» в ту или иную сторону, т. е. U изменится мгновенно (скачком)
— U0 приз =-O0. Звено, будучи
состоянии не только вне мертвой зоны, но и внутри некоторой части последней: состояние звена U=-\-Uu сохранится при o^>oj и Uz= — U0 при о<^— O1 (| O11 sg: о0). Только при O = Ztsi «включенное» ранее звено «выключится». В частности, при —з0<^з<^—0I и ПРИ 0I ^0 ^0O состояние звена (его выходная координата U) определяется исключительно его предшествующим состоянием — тем, было ли звено «включенным» или «выключенным» в предшествующий момент времени. Такое звено (с характеристикой, приведенной на рис. 424) обычно характеризуется тремя параметрами: абсолютным значением выходной координаты U0 «включенного» звена, шириной мертвой зоны о0 и так называемым коэффициентом возврата релейного звена Х = о,/з0 (— I^ X ^ I)2).