Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
по-прежнему значения х^х0. Диаграмма Ламерея для этого случая изображена на рис. 414. Существование неподвижной точки вытекает из непрерывнбсти функций (8.64) и из неравенств: s — s' 0 при х = х0 и s — (s — s'— оо) при х-.-j-oo, единственность—из мо-
нотонности убывания s—Sr при изменении х от х0 до -|-оо. Доказательство устойчивости неподвижной точки при ? 1 ничем не отличается от доказательства, проведенного выше для случая 0 ? 1.
Таким образом, при любом положительном значении параметра ? на фазовой поверхности рассматриваемой динамической системы имеется единственный и притом устойчивый и симметричный предельный цикл, к которому стремятся (при Z->--{~оо) все фазовые траектории (рис. 415). Иначе говоря, судно с рассматриваемым авторулевым при любых начальных условиях приходит в автоколебательный режим — § 7] ДВУХПОЗИЦИОННЫЙ АВТОРУЛЕВОЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 589
в режим незатухающих периодических колебаний около заданного
Рис. 414.
меньше, чем меньше запаздывание авторулевого и чем больше коррекция по скорости'). Одна из осциллограмм колебаний курса судна,
') Уравнение той части предельного цикла, которая расположена на листе (/), согласно (8.58) ^y0 = S*, Jf0 = — ?s*j записывается в виде:
у = — 1 + (1 + S*) е-', X = ~ — ?s* — t + (1 + s*) (1 — Н).
Обозначим через 7 интервал времени, через который изображающая точка пересечет ось абсцисс, а отклонение от курса достигнет своего наибольшего, амплитудного значения. Очевидно,
/ = 1 + S*, т. е. 1 = In (1 + S*), и следовательно, амплитуда автоколебаний курса
A = y + (l-P)s*-ln(l+s*).
S*2 O2
Для малых s* (для а < ?) согласно (8.666) имеем: х = -у- = .
Период автоколебаний (в единицах безразмерного времени) равен 2 т*, т. е, при а < ? равен ~. 690 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
соответствующая траектории А на рис. 415, приведена на рис. 416 (точками на кривой отмечены моменты переключения авторулевого —
у
Чі Предельный цикл /
Рис. 415.
моменты времени, в которые происходят перекладки руля из одного крайнего положения в другое).
Траектории, выходящие на «прямые переключений» х ?v = -+- у
в точках с CKn ^ й|, идут в дальнейшем между этими прямыми,
I1 Pl
т. е. в 8-окрестности прямой лг'4-фу = 0, где 8 = ^ . Эти § 7] ДВУХПОЗИЦИОННЫЙ АВТОРУЛЕВОЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
591
зигзагообразные траектории, очевидно, и соответствуют скользящему режиму авторулевого, когда авторулевой, не выходя за пределы «зоны неоднозначности», производит частые перекладки руля попеременно то в одно, то в другое крайнее положение (через интервалы
времени Af порядка 4-)*). Во время скользящего режима у = Sc =
=--jj--(-О(а) и, следовательно, при уменьшении зоны запаздывания
авторулевого (при а — 0, когда интервалы времени At, через которые происходят перекладки руля, стремятся к нулю) зигзагообразные траектории стремятся к прямой х -(- ?y = 0, х — а размеры
предельного цикла и амплитуда автоколебаний курса стремятся к нулю. Таким образом, в пределе при а — 0 мы получаем то доопределение скользящего режима, которое было дано (в виде постулата) в предыдущем параграфе.
2. Авторулевой с временным запаздыванием. Качественно такие же результаты получаются и при рассмотрении динамической модели судна с двухпозиционным авторулевым, когда запаздывание срабатывания авторулевого идеализируется как временное запаздывание, т. е. предполагается, что авторулевой перекладывает руль через некоторый постоянный промежуток времени Д после прохождения через нуль координаты электрозолотника о.
В тех же переменных, которые мы использовали в предыдущем разделе параграфа, уравнения движения судна с двухпозиционным авторулевым, имеющим временное запаздывание, очевидно, запишутся в следующем виде:
х=у,
у = —у-\-z,
где
Г — 1 при Ut — 0) > О, z(t)=z[Ht-8) = 1,, t„
\ -f 1 при $ (/ — 6) < О,
(8.67)
ї = лг-(-{Зу и 0==уД— приведенное время запаздывания. Теперь,
в отличие от ранее рассмотренных динамических систем, уравнения движения судна с авторулевым являются уже не дифференциальными, а дифференциально-разностными: скорости изменения переменных лг, у (в частности, угловое ускорение судна) в момент времени t определяются не только значением у в этот момент времени, но и
') Изменение у в промежутки времени между переключениями авторулевого является величиной порядка , а | у \ — величиной порядка единицы; отсюда промежутки времени At между переключениями авторулевого имеют порядок величины . 592 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
значением координаты электрозолотНика S в другой, более ранний момент t'==t — b. Вследствие этого движение системы при t^>t* не определяется однозначно заданием х, у в момент времени t*, а требует для своего полного и однозначного определения задания функции x(t) на отрезке времени t* — t^t*. Иначе говоря, состояние рассматриваемой системы в любой момент времени t* определяется заданием функции x(t) на отрезке времени t* — Ь ^t* (или, что то же самое, заданием лг, у в момент времени t* и кусочно-постоянной функции Z[S(0] Для t*—соответственно фазовым пространством системы будет не какая-либо поверхность, а функциональное пространство
