Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
') Ясно, что каждая точка s полупрямой S имеет последующую точку S1 на полупрямой S'. Это преобразование будет однозначным и непрерывным; однако взаимной однозначностью преобразование П не обладает, так как полупрямая S не является полупрямой без контакта ^b ее точке s = .у = уД-^,
5 = 0, т. е. фазовые траектории касаются этой полупрямой). Например, точки а и б полупрямой S на рис. 411, принадлежащие одной и той же траектории, преобразуются преобразованием П в одну точку в полупрямой S'. § 7]
ДВУХПОЗИЦИОННЫЙ АВТОРУЛЕВОЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
585
двулистной фазовой поверхности на траектории к исследованию этого точечного преобразования.
Подставив в (8.58) &0 = -|-у и y0 = s и обозначив время пробега
изображающей точки по траектории на листе (/) от полупрямой S
до полупрямой Sf через t ^при Z = і 0 S =— у и у =— s'j, мы
получим соотношения:
— S' = —1-f (s-f \)е-\
после разрешения которых относительно s и sf мы получим функцию соответствия преобразования П в следующей параметрической форме:
s = -i
(1_р) (I-O'
sr = -I-I- ¦
(8.64)
(I-P)(^-I) • Для построения диаграммы Ламерея введем вспомогательные функции:
W1(C)-.
\ — е~
^ CO = ^El = ^iCO
(8.65)
Графики этих функций (для х 0) приведены на рис. 412. Первая из них — монотонно возрастающая функция, вторая имеет максимум при значении I = I1, определяемом условием J)
1PiW=I;
Рис. 412.
при t-0 T1 и — — оо; при і — -|-оо 1F1-I: — a, a Ita — -f-0. Очевидно,
- р (8.64а)
ds _ У; (т) ds'_ У; (т) ds'_ УПх) ' 4 '
dz~ 1 — P' dr 1 — р и ds TJ(T)'
n В „ rffi 1 — е~т — (т — а) er* [a + ez — т — 1] ^ -
Ч в самом деле, ^L =- J = ->°
Єт — 1 — (і — «) ех I-Irl (г) . 1ТГ , .
rfx д " (gx-i)a ' = gx_ l > т. е. ФУНКЦИЯ W1 (X)
достигает максимума, когдаT1 обращается в единицу (при т<п ?j>0 и при т > t1 Wj < 0). Ясно, что t1 > а.
при т > О и а > 0; dWa 686 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
Q
причем начальной точке s = s0=» — і _ ft полупрямой 5 соответствует вначенйё X = X0, определяемое уравнением1)
lFiW = I-Sp. Пусть В этом случае на полупрямой S s=_y^s(=»
= — J-Lp1 поэтому точкам этой полупрямой соответствуют значения параметра преобразования х^х0 ^при ?<^l Используя гра-
фики функций W1 и If9 и соотношения (8.64а), нетрудно построить диаграмму Ламерея; она для случая 0<^?<^l построена на рис. 413.
Нетрудно видеть, что кривые (8.64) имеют единственную точку пересечения, а следовательно, преобразование П имеет единственную неподвижную точку (s = s' = s*, х = х*). Это непосредственно следует из того, что разность
является непрерывной и монотонно возрастающей функцией х, так как ? 1 и при а, х О
* F1 (X) + Wi (X)] = L [(X - а) cth = g + sh;T~T>0, (8.65a)
') т0 и T1 определяются указанными выше уравнениями однозначно в силу монотонности функции 1F1 (г). Очевиднб, X0 < T1. § 7] ДВУХПОЗИЦИОННЫЙ АВТОРУЛЕВОЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 687
причем эта разность стремится к -(- оо, когда % —»-(- оо, а при т = т0 равняется
Значение параметра т = т* для неподвижной точки преобразования П, очевидно, однозначно определяется уравнением
Cth^- = O
~ 1—? 2
или
т* — 2(1 — р) thj = «, (8.66)
а координата s* неподвижной точки — соотношением
j*= j! т*-"
~ (1 — ,3)(1- є'т*)
или, поскольку -^ = 2th4r = 2---—
1 —P 1 1 -\-е т
^ = -1 + ^^ =TXf^- = thT- (8-66а)
1 + е 1 + е z
Заметим, что при малых а (при малой ширине «зоны неопределенности» характеристики авторулевого, т. е. при малом запаздывании) т* и s* также малы; именно, с точностью до членов порядка а3
т* = | и s* = J. (8.666)
Эта неподвижная точка (S = Sf = S*, т = т*) является устойчивой, так как условие ее устойчивости
<
при T :
в силу (8.64а) сводится к неравенству
іW1 ^ I dWs dz I dz
при т=т*,
выполняемому всегда. В самом деле, если т*^>ть то при т=т* 0 и условие устойчивости неподвижной точки эквивалентно неравенству
при I=X*, 558 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
справедливость которого была доказана выше для любых т О (см. (8.65а)). Если же х*<^х,, то при х = х* > О, в силу чего условие устойчивости принимает вид:
при х = х*
и также всегда выполняется, так как
Wi-Wt = *-* и -?(^-4^)=1.
Итак, при 0<р<1 точечное преобразование П имеет единственную и притом устойчивую неподвижную точку, которая, как нетрудно видеть, является предельной точкой для последовательностей:
s> sIi sZi • • •
с любыми начальными точками s.
То же самое имеет место и при ? :3=1. При ?=l полупрямые 5
и 5' превращаются в прямые jc-f-?j/ = у и jf-f-?_y = — —, причем
в силу (8.58) время пробега изображающей точки от прямой 5 до прямой S1 не зависит от s и равно х = а. В этом случае функция последования преобразования П получается в явном виде:
S'=l— (* + \)е-\
а само точечное преобразование П имеет единственную и устойчивую неподвижную точку s*=thy.
При ?^>l в точках полупрямой 5: s=y^_ — y~? = so> но> по_ ds
скольку при ?^>l, точкам этой полупрямой соответствуют
