Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
1. Авторулевой с пространственным запаздыванием. Перейдем теперь к рассмотрению динамики системы «судно -j- двухпозиционный авторулевой» со скоростной коррекцией при учете пространственного запаздывания в электрозолотнике. Характеристика такого авторулевого была изображена на рис. 408; авторулевой держит руль в положении ф = -(- (М = -(- Ж0) при а з0 и в положении = — ^0 (ТИ = — TWe) при — з0, перекладывая руль мгновенно из одного крайнего
') В такой постановке задачи считается, что f достигает постоянного значения ± А сразу же (мгновенно) после включения рулевой машинки и значения, равного нулю, после ее выключения, т. е. пренебрегают моментом инерции рулевой машинки и массой всех частей рулевого устройства, приводимых в движение рулевой машинкой.
2) Такое запаздывание на некоторый постоянный промежуток времени обычно называют временным в отличие от пространственного запаздывания, когда запаздывание срабатывания релейной системы определяется не интервалом времени, а перемещением изображающей точки в фазовом пространстве на некоторое, постоянное расстояние (изм енением I а I на <jg в нашей задаче об авторулевом). 582 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
положения в другое только при а =-[-о0, когда а увеличивается, и при а = — а0, когда а уменьшается. При —а0 а + aft положение руля уже не определяется однозначно координатой электрозолотника a (может быть как ф = -[- ^0, так и ^ = — а определяется предшествующими состояниями системы: руль остается в том же положении, которое он занимал в непосредственно предшествующие моменты времени. Эта неоднозначность характеристики авторулевого (неоднозначность момента сил руля M как функции координаты
электрозолотника a = y + b -j- J, очевидно, приводит к тому, что в ка-
честве 'фазовой поверхности системы мы не можем взять плоскость <р, . Фазовая поверхность будет двулистная, состоящая из двух листов (!) и (II), представляющих соответственно множества состояний
системы с рулем в левом и правом крайних положениях и перекрывающихся друг с другом в пределах «зоны неоднозначности»: (рис. 410). При этом в соответствии с принятой характеристикой авторулевого мы должны считать, что переход изображающей точки с листа (/) на лист (II) происходит только на границе листа (/), а обратный переход — только на границе листа (II)1).
Введем (так же как в предыдущем параграфе) новые переменные X, %, Z и новое, безразмерное время /нов, связанные со старыми переменными соотношениями:
?=-+0 M^M1
Рис. 410.
M0I M0Ff ,, . ,
tP = Tyr°=hH M = +M0Z и t =
') См. также § 6 гл. Ш, где были рассмотрены две динамические систему с двулистными фазовыми поверхностями. § 7]
ДВУХПОЗИЦИОННЫЙ АВТОРУЛЕВОЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
583
Тогда уравнения движения рассматриваемой динамической системы приведутся к виду, аналогичному (8.53):
х=у,
У = —У + *,
но где
= Z* (5):
— 1 при ?>— У + 1 при + |
2 H1
(8.63)
На листе (/), соответствующем множеству состояний системы с рулем в левом крайнем положении (ф = — ф0) и представляющем собой полуплоскость
M =— M0, т. е. Z = —1, и следовательно, уравнения движения системы запишутся в виде (8.55), а их решением будут соотноше-
5 ух
Рис. 411.
ния (8.58). Разбиение этого листа на фазовые траектории изображено на рис. 411 ^для определенности взят случай Как
') При z = -|-l или —1, сохраняя то значение, которое было
в предшествующие моменты времени. 584 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
нетрудно видеть, на листе (/) нет состояний равновесия, и все траектории выходят на его границу
и затем переходят на лист (//). Отметим, что траектории на листе (II) симметричны траекториям на листе (/) по отношению к началу координат. Эта симметричность является непосредственным следствием уравнений (8.63), точнее, их инвариантности относительно замены переменных X, у на —х, —у.
Построим на листе (I) (рис. 411) полупрямую S':
* + &у = -у, S = (i-?Xy-p<o,
через которую изображающие точки переходят на лист (II), и симметричную ей полупрямую 5:
* + p.y = + -J, (і-рху + р5*0
— полупрямую перехода траекторий с листа (II) на лист (/); выберем координаты: s=y на полупрямой 5 и s =—у на полупрямой 5' (симметричным точкам на этих полупрямых соответствуют одинаковые значения координаты s), и рассмотрим точечное преобразование П полупрямой S в полупрямую S':
J = Il(S),
осуществляемое траекториями на листе (Г)'). а свою очередь точки полупрямой S' преобразуются в точки полупрямой 5 траекториями на листе (II), причем в силу указанной выше симметрии траекторий на листах (/) и (II) это преобразование будет тождественным с преобразованием П. Таким образом, это преобразование П определяет в последовательности значений
s, Si, S2, ... , Sll, sk+i,...
для точек пересечения каждой заданной фазовой траектории с полупрямыми 5 и S' (с «полупрямыми переключений») каждое последующее значение sk+i по предыдущему sk:
Sft+1 =11 (?),
что, очевидно, позволяет свести рассмотрение структуры разбиения
