Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
от нее 0), если
Такой ход фазовых траекторий в окрестности «прямой переключений»— границы областей (I) и (II) — позволяет дать следующее доопределение движения изображающей точки на этой прямой (доопределение движения системы с электрозолотником в нейтральном положении): § 6] ДВУХПОЗИЦИОННЫЙ АВТОРУЛЕВОЙ
569
1) если изображающая точка приходит на «прямую переключений» вне отрезка (8.56), то она пересекает ее, переходя из области (I) в область (II) или обратно;
2) если изображающая точка приходит на «прямую переключений» в пределах отрезка (8.56), то дальше она движется по этому отрезку.
Закон движения системы в последнем случае получается из уравнения «прямой переключений» (8.54), если положить там _у = х, т. е. из уравнения
X -f- ?x = О,
что дает
X = х9е р. (8.57)
Это — так называемый скользящий режим двухпозиционного авторулевого [98]. При работе авторулевого в этом режиме электрозолотник находится в нейтральном положении и положение руля плавно изменяется от крайнего до нейтрального. Приведенная координата руля г в этом случае, очевидно, изменяется следующим образом:
* = * + (i—I)e~T. (8.57а)
Для понимания механизма скользящего режима необходимо учесть дополнительно некоторые (вообще говоря, второстепенные) факторы: например, запаздывание в авторулевом или инерцию рулевой машинки, которые всегда имеются в реальных авторулевых и приводят к тому, что перекладка руля происходит фактически после прохода через нуль координаты электрозолотника 5. Из-за наличия этих факторов скользящий режим состоит в частых (тем более частых, чем меньше запаздывание авторулевого или время перекладки руля рулевой 570 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
машинкой) переключениях электрозолотника, приводящих или к перемещению руля малыми порциями или к колебаниям руля со средним положением, близким к (8.57)'). Идеализация скользящего режима, получаемая при нашем упрощенном рассмотрении и выражаемая приведенным выше доопределением движения системы для х + р_у=0, должна рассматриваться как предельный случай, когда указанные выше дополнительные факторы (запаздывание, конечное время, необходимое для перекладки руля) стремятся к нулю.
При наличии скользящего режима отклонение судна от заданного курса затухает апериодически согласно (8.57) и тем быстрее, чем меньше ?. Однако следует помнить, что при. уменьшении р сокращается и область скользящего режима, вне которой колебания курса, как мы увидим ниже, затухают уже осцилляторно и сравнительно медленно. Поэтому как слишком малые, так и слишком большие значения параметра ?, характеризующего величину скоростной коррекции, приводят к медленному установлению заданного курса.
3. Точечное преобразование. Рассмотрим теперь ход фазовых траекторий вне отрезка скользящего режима путем сведения задачи к некоторому точечному преобразованию прямой в прямую. Пусть 0<^р<^12). Рассмотрим для построения точечного преобразования фазовую траекторию, пересекающую «прямую переключений» (8.54) и входящую (при Z = O) в область (I) в некоторой точке S0 (—?s0, s0);
очевидно, что S0 -J-Li Интегрируя (8.55), получим общее реше-1 {і ¦
ние для области (/):
.У = — 1 +(Уо+ !)<?"'. )
x=x0-t + (у0 + 1)(1 _*-<), (8.58)
E = jf + &y = E0-* + (l-?)ty0+ 1)(1-*-*) )
(л:0, у0, ?0 — значения х, у, ? при Z=O). Для рассматриваемой траектории X0 = —?s0 и ?0 = 0; тогда при некотором Z = t^> 0, однозначно определяемом уравнением
(I-P)Co+1)(1-О — * = 0, (8.59)
координата электрозолотника \ обращается в нуль и изображающая точка возвращается на «прямую переключений» в точке S1 (Ps1,— S1), где
S1 = 1 — (s0 + \ )е~~\ (8.59а)
Здесь могут представиться два случая. Если S1 sg ^ то фазовая
і — р
траектория входит в отрезок скользящего режима и дальнейшее
1J См. следующий параграф.
2) Случай (J > 1 не представляет существенного интереса из-за медленного затухания отклонения судна от заданного курса в скользящем режиме. В этом случае, как нетрудно видеть из рис. 397, скользящий режим наступает самое большее при второй перекладке руля. § 6] ДВУХПОЗИЦИОННЫЙ АВТОРУЛЕВОЙ
571
движение протекает согласно (8.57). Если же S1 у~|> то траектория переходит в область (II) и вновь приходит на «прямую переключений» в некоторой точке S2 (— ?s2, S2) и т. д.*).
Так мы получим последовательность точек пересечения рассматриваемой траектории с «прямой переключений» — последовательность точек:
So,
sk> sk+i<
Нетрудно видеть, что в силу симметрии фазовых траекторий в областях (/) и (II) относительно начала координат каждая последующая точка sft+1 получается из предыдущей Sft тем же преобразованием, что и точка S1 из точки s0, т. е. преобразованием с функцией последования:
50 = — 1
51 = +!
(1 _р) (I-O'
(I-P)(^-I) '
(8.60)
получаемой из (8.59) и (8.59а). При этом точка Sft имеет последую-
. а
щую sft+1 только при условии, что Sft ^; в противном случае
точка Sft не имеет последующей на полупрямой (s), так как соответ-
