Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 394. Схема и блок-схема двухпозиционного авторулевого с коррекцией по скорости.
1— судно; 2 — курсовой гироскоп (гирокомпас); 3 — демпфирующий гироскоп (датч ік скорости); 4 — электрозолотник; 5 — реле; б — рулевая машинка; 7 — бортовая электрическая сеть; 8 — руль; 9 — концевые выключатели.
машинка должна быть включена так, чтобы перекладывать руль на левый борт (ф =— ф0 и M =— M0) при о 0 и на правый борт (Ф = + Фо и M = -J-M0) при о 0. Таким образом, при о ф 0 руль занимает одно из двух крайних положений (отсюда и название «двухпозиционный авторулевой»). Если же о = 0 (электрозолотник находится в нейтральном положении), то рулевая машинка выключена, 566 точечные преобразования и кусочно-линейные системы [гл. viiI
и руль может занимать любое положение между < <]) <])„, а — AI0 S=S M *=s -f AI0 (рис. 395).
крайними:
-Ma
Рис. 395.
Пренебрегая зазором между контактами электрозолотника и считая перекладку руля мгновенной, мы сможем приближенно записать уравнение двухпозиционного авторулевого с коррекцией по скорости в виде:
,! , . dy*
где
Z(o) =
M-.
¦ 1 1
¦ м,Zi^bdt
(8.52)
при при
о>0 о<0
|Z(0)| sS 1 *)¦
2. Фазовая плоскость. «Скользящий режим». После этих предварительных замечаний перейдем к рассмотрению динамики судна, снабженного двухпозиционным авторулевым со скоростной коррекцией. Прежде всего упростим уравнения (8.51) и (8.52) системы «судно авторулевой», введя безразмерные переменные лг, ^hob, z, определяемые соотношениями:
где
: Ах, tCT — Ttll
A = ^- и H2
M = M0Z,
T--
: H •
Эти уравнения в новых переменных получат вид: x-\-x = z и z = Z (лг рлг),
(8.53)
где
Ь_
T
h н zbT
') Мы не применяем для обозначения этой функции СИМВОЛ Sgn а, поскольку функция Sgn= обычно определяется так, ЧТО Sgn(O)=O. § 6] ДВУХПОЗИЦИОННЫЙ АВТОРУЛЕВОЙ
567
и где точкой сверху обозначено дифференцирование по новому, безразмерному времени Zhob (оно ниже будет обозначаться через t). Далее, интересуясь только случаем малых отклонений судна от заданного курса (полагая, что | ср | заведомо меньше тс), мы будем считать фазовую поверхность х, х изучаемой динамической системы (судно -(- авторулевой) обычной плоскостью.
Обозначим х = у и рассмотрим разбиение фазовой плоскости х, у на фазовые траектории. Эта фазовая плоскость делится «прямой переключений»
*-f?_y = 0, (8.54)
соответствующей нейтральному положению электрозолотника, на две области (/) и (II), в каждой из которых имеет место свое линейное уравнение движения:
х=у, }
¦ , (8-55)
у=—у—\ J
в области (Г) (х -f- ?_y 0) и
х=у, )
. , \ (8.55а)
у=—у-Ul J
в области (II) (х -f- <С 0)- Последние уравнения получаются из уравнений (8.55) заменой х, у на —х, —у. Поэтому траектории в областях (/) и (II) симметричны друг другу по отношению к началу координат.
На самой «прямой переключений» движение изображающей точки осталось неопределенным, поскольку там уравнение авторулевого (второе уравнение (8.53)) не определяет однозначно правой части уравнения движения судна (при о = 0 координата руля может принимать любые значения —1 z sg; 1). Поэтому для получения полной картины разбиения фазовой плоскости на траектории, для того чтобы каждое движение системы могло быть неограниченно прослеживаемо во времени, мы должны соответствующим образом доопределить уравнения движения рассматриваемой нами динамической системы для X -[- ?_y = 01J.
Рассмотрим с этой целью ход фазовых траекторий вблизи прямой (8.54). Введем приведенную координату электрозолотника
и подсчитаем Для области (/):
s=-* + fty = y-?(.y + i) = 0-?).y-?.
') Такое доопределение обычно требует некоторых дополнительных сведений о процессах в изучаемой физической системе. Оно может быть получено путем обращения к более сложной системе уравнений, отображающих детальнее особенности процессов в авторулевом, и последующего рассмотрения разумно выбранного предельного перехода (см. следующий параграф). 568 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
Изоклиной ? = 0 (геометрическим местом, где траектории параллельны «прямой переключений»), очевидно, является горизонтальная прямая
У=
1 -I
Пусть 0<р< 1. В этом случае выше этой изоклины ?^>0, фазовые траектории удаляются от прямой (8.54), а ниже ее — приближаются к этой прямой. Симметричная картина имеет место в области (//). Таким образом, на «прямой переключений» (8.54) имеется отрезок
IjI
1-і
(8.56)
к которому фазовые траектории подходят с обеих сторон. Вне этого отрезка фазовые траектории подходят к прямой (8.54) с одной
....!.f.... .....
{¦'.'¦Прямая']' .'. •-'..•."¦. V." •.'.' .'. •'.
¦' Переключений '.'¦ QtQiJ •
OiBu=O .:.. " г 1 _ . ¦ : :.
^rj- •.'•¦'.'••: -у .с -
.....
У'*/
Отрезок скользящего режима
Рис. 396.
стороны и отходят с другой (рис. 396). Та же картина получается и при ? 1 (рис. 397). Теперь в области (/) траектории приближаются к прямой переключений (?<^0), если у у-^-р и удаляются
