Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
С той же степенью точности для предельного цикла
__ 1
і = S1= ,J1Xa-I-О (е ї7). (8.466)
Подставив (8.466) в первое соотношение (8.45), мы получим уравнение, определяющее I1 — время пробега изображающей точки по предельному циклу в области (/):
[X3 + X1 + о (Г»)} е^ = (>.; + X3) ^iti + х; _ X1, (8.47).
Это уравнение можно решить методом последовательных приближений, используя различие в порядках величины корней X1 и XJ. Оценим сначала порядок величины F1; так как е1^ —>- 1 при ,J1 —*¦ 0, то
для выполнения уравнения (8.47) должно быть величиной по-
,— /Is - — ! 1 \ IJ1 = O (ІП— И ^1 = OI1J1In-! )
рядка Х;, т. е. eli'i = Alh = U ^in-J и 11 = и\р ш—j
Подставим <М= 1 -f O(X1F1)= 1 +O^ In+j в (8.47):
2х;+х2 —X1+ х; oiV in—)
\ Н* /
Xs+ X1
V-K
[l+o(,ln±j],
') Асимптотическое выражение (8.46а) справедливо для любых s', больших сколь угодно малой, но фиксированной величины (s1 > а). Первое соотношение (8.46а) показывает, что все траектории, пересекающие полупрямую (s') вне некоторой фиксированной окрестности точки s' = 0, и в частности все траектории, идущие из области (III), включая предельный цикл, входят в области (II)
в очень малую (порядка е 11J окрестность прямолинейной траектории y = — K—*iX.
а) Таким образом, при ц — + О I1 — + 0, но медленнее (д. и быстрее цР (0<? < 1), так как при любом 0<{3<1 и достаточно малых fx О (м) <
< О (^l In ™)< О (fx?). Такой порядок малости ^1 определяется тем, что предельный цикл в области (Г) идет сначала в окрестности (порядка ц) точки /4(1, К — 1) изоклины F, где |jc|<0(1). Для траекторий, пересекающих полупрямую S на конечном расстоянии от точки A, ^1 = O (у-). 560 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
откуда
^^.nl + .nJ^ + 'nfl+O^lnl)],
п. , так как
ln[l + o(,.lni)] = o(,.ln±) и 1 = ,.),, = -^-, + 0(,?
Найдем теперь, пользуясь вторым соотношением (8.45), асимптотическое выражение для s' (для координаты точки пересечения предельного цикла с полупрямой 5'), с тем чтобы затем на основании (8.46а) найти Z2 и период автоколебаний. Согласно (8.48) имеем:
е
г F - ^ In1 I 1п2(АС~')г ' O^ln 1 I
Vi — j).ln ,, + {к_ ці ln к т^^ I" -J
^r1 = 1 + X1Z1 + о (Xff) = 1 + -^7y2 In -1
T (AT-I)2111 к +u^ 111 р.
Поэтому в силу второго уравнения (8.45), которое мы перепишем в виде:
j>— (H-Xj-H-X1)gx^ + н.х;-H-Xlg^ 1 _gxi'i .
') Подставив полученное асимптотическое выражение (8.48) в правую часть уравнения (8.47), мы получим следующее приближение для Z1 с точностью до
членов порядка jj.3 In J. Таким путем, методом последовательных приближений, можно получить асимптотическое разложение для Z1 с точностью до O(VtIn J), где п — любое целое положительное число. Однако это разложение не будет сходящимся. § 5] ламповый ГЕНЕРАТОР С ДВУХЗВЕННОЙ /?С-ЦЕПОЧКОЙ 561
получим:
H1 + AI {(*-1 -К^тУіТі + * - 1-^т} +
+ 0(,^) = 2(^-1)+^ InJ + ^i \К-3 + In ^?^] +
+ о L2 і„«іу).
Ij-
Тогда, используя второе уравнение (8.46а), получим:
еХА= = О + 2^) + 1 ~ Ю + О = (2Д- 1) X
j fjtlV
Xjl +(К_1)(2А:_1) + !Л
In*«-1?
2К(2К— 3) , К
{К- 1) (2AT— 1) ЧАГ- 1) (Ж- 1)J
о(,'Ы<±)}\
(AlnJ 2К(2К-3) + \п2(Кк 1)2
X2Z2 = In (2АГ — 1) + {к_ 1)(2^-1) + (К— Г)(2К — 1)
о (,^J)3)
1J Погрешность числителя равна О (м-3 In —); поэтому выражения для
(аХ[ и (JiX1 мы берем с точностью до О ((А2),
(А К
OjfA2In- ), а член (AX1C^ig-xI'! =CMtA2In- ) вносим в
2 (AT— I)2 t V н- / ' --\ (А ,
остаточный член.
Из полученного асимптотического выражения для s' следует, что точка предельного цикла с абсциссой х = — 1 лежит на расстоянии порядка
(і In — от кривой ABCDA. fA
2) Все члены выписываем с точностью до O^fA2InJj- В частности,
(а>-2 = 1 — (а + О ((а2) и ^1^, = 1+^ + 0^-*) Здесь удобно воспользоваться разложением
In (1 4- x) = А — J A2 4- О (xе). 562 точечные преобразования и кусочно-линейные системы [гл. vih и, наконец,
Ti = ^L (X2F3) = (1 - (i) X3?; + О (ц») или
/, = 1п(2/Г— 1) +
[Л In -
4-
2К (2-К 3) . К п ¦_umг_і\i its — і\ i'iw_i\ !"V^A ч
{K-\)(2K-\) 1 (К-\)(2К-\)
(К -\){2К-\)
2 (AT-I)2
'.LO^ !„¦ 1).
(8.49)
Суммируя с (8.48), мы получим следующее асимптотическое выражение для периода автоколебаний мультивибратора (для периода периодического решения системы (8.39) при малых [х):
t = 2(71+F1) = 2in(2/r-l) + (/f_1)4gy_r)tiln} +
+
Win ?<«-'>2
^K{2к з) , :—к_ 21п(2/с_1}
L(AT-1)(2АГ-1) 1 (АГ-1)(2АГ-1)
+ 0I^ 1Vj-
(8.50)
Старший член в этом асимптотическом разложении, как и следовало ожидать, совпадает с предельным (при ji -> 0) выражением (8.43) для периода мультивибратора.
§ 6. Двухпозиционный авторулевой
В этом параграфе мы рассмотрим динамику судна, снабженного простейшей, так называемой двухпозиционной системой стабилизации курса — двухпозиционным авторулевым.
1. Постановка задачи. Пусть ср — отклонение судна от заданного курса (рис. 392). Составим упрощенное уравнение вращения судна вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр тяжести, пренебрегая боковым сносом судна при разворотах и учитывая как момент сил M = M(ty), создаваемый рулем, так и момент сил
