Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
2y2 sh x2 еї2т2 —. ch x2 — Ya sh x2 2y2 sh x2
(8.40a)
при — 1)*.
Итак, точечное преобразование IT полупрямой 5 в полупрямую S1 имеет единственную и притом устойчивую неподвижную точку (S = S1 = S, Sr = s'). Соответственно, на фазовой плоскости имеется единственный (симметричный и устойчивый) предельный цикл, к которому стремятся при t -»•-)- оо все фазовые траектории (рис. 389),— в схеме при К^> 1 и при любых начальных условиях устанавливаются автоколебания ').
') На рис. 389 изображено разбиение фазовой плоскости на траектории для случая К~> 1 4-2 , когда состояние равновесия является неустойчивым узлом.§ 5] ламповый генератор с двухзвенной RC-цепочкой 551
Период автоколебаний, очевидно, равен
t = 2(.1L+M
\ ш, 1 ша J
(в единицах безразмерного времени) и
г= 2 [Ra (с + C1) + ад (A + -JJ
(в обычных единицах), где t1, т2 (0 ^ t1 т?, 0<т2^ + оо)—значения t1 и т2, соответствующие неподвижной точке и определяемые
однозначно системой уравнений (8.40) при 4^^(^—I)3 и системой (8.40а) при 4[х<(ЛГ—1)а.
Отметим сразу же один предельный случай. Если К-*- 1 (но 1), то предельный цикл стремится к окружности
хг +_у2—1, так как T1-Vic и т,-+0, а автоколебания близки к синусоидальным с периодом 2тс [Ra (С + C1) + Rg (С + Cg)].
4. Разрывные колебания. Рассмотрим теперь другой, весьма интересный предельный случай
— случай мультивибратора с одной /?С-цепью (малые, паразитные емкости Ca, Cg С), когда автоколебания в схеме носят разрывный характер. Разрывные колебания, как мы увидим в гл. X, отображаются дифференциальными уравнениями с малыми коэффициентами при552 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
старших производных, и система (8.30) при малом ja является примером (достаточно простым, но типичным) подобных динамических систем.
Для получения разбиения фазовой плоскости х, у на траектории системы (8.30) при достаточно малых (і выпишем уравнение интегральных кривых
dy _
dX Х+у + Ку(Х)
(8.41)
и построим на плоскости х, у изоклину вертикальных касательных — кривую F
у = — X — Д"ср (аг) (8.42)
(на ней AT=O и -^= со
Из уравнений (8.30) и (8.41) следует, что при достаточно малых [а (при [а —> 0) I а; I быстро возрастает, a J | быстро убывает при удалении от изоклины F: в точках (х, _у) на расстояниях порядка Jj- от нее х и -fQ- = O (1), а уже на расстояниях порядка /[AX=O(IA-1Za) и -^=0(IA1^), т.е. х->оо, a -Jx^0 при р.-*+ О1). Следовательно, при достаточно малых р. фазовые траектории вне j/^.-окрестности кривой F сколь угодно близки к горизонтальным прямым у = const (там -> О при ^jl —>- —]— 0, по
крайней мере, как /а , и изображающая точка двигается по ним
сколь угодно быстро (х->со как —~ или быстрее)2). При этом
\ Vv- I
изображающая точка двигается вправо в точках, лежащих под изоклиной F (там —x — y—Ktр(лг)>0 и jc = -*-^-*^-> -f Ьо ),
и влево — над ней (рис. 390). Эти траектории сколь угодно быстрых, скачкообразных движений системы (в пределе мгновенных скачков) идут из бесконечности и от отрезка CA изоклины F к полупрямым Ft и Fi, являющимся частями изоклины F, лежащими в областях (//)
') Здесь и ниже мы обозначаем через 0[/(ц)] функции, которые ведут себя при малых (і как/(fi); запись g(x, у, fi) = О (/(ja)] означает, что при
p (х v ja )
fl->-|-0 отношение ' ' — стремится к конечному пределу (вообще
/ ((А)
говоря, зависящему от х, у).
2) Под е-окрестностью некоторой кривой, как и раньше, понимается множество всех точек, расстояния от которых до данной кривой не превышают е. Очевидно, |/"fx -окрестность кривой F стягивается к F при ;а0.§ 5] ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР С ДВУХЗВЕННОЙ /?С-ЦЕПОЧКОЙ 553
и (III). В [л-окрестностях полупрямых Ft и FJ х остается ограниченной величиной при р. —»- —1— 0, т. е. в этих окрестностях лежат траектории «медленных» движений системы (движений с фазовыми скоростями, остающимися ограниченными при ;л —* 0)'). Медленное
движение изображающей точки переходит в сколь угодно быстрое, скачкообразное в ]/^-окрестностях точек А и С.
Таким образом, движение изображающей точки системы (8.30) при достаточно малых ;л будет слагаться из чередующихся сколь угодно быстрых, скачкообразных движений по траекториям, сколь угодно близким к горизонтальным прямым у = COnst, и «медленных» движений по траекториям, лежащим в [л-окрестностях полупрямых Fг и На рис. 390 изображено предельное (при [л —* -J- 0) разбиение фазовой плоскости на траектории: траектории скачкообразных движений (мгновенных скачков) изображены прямыми у = const, траектории «медленных» движений — полупрямыми F\ и /7J. Предельным циклом будет замкнутая кривая ABCDA2).
') Напомним, что у=: X и, следовательно, остается ограниченной величиной при JX-*-+ О и внутри окрестности кривой F1 и вне ее.
2) Приближенные (асимптотические) уравнения движения рассматриваемой системы при достаточно малых [л можно записать в виде:
[л х = — х—у0 —Ку(х) (А)
во время скачкообразного движения по траектории у ==у<> = Const (но вне некоторой окрестности кривой F) и