Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
K-
Sinz T1 e1lTl (COS T1 — Vl sin xl)
2vi
K-
Sin2 T1 (tl, Vi)
27I
sin2 T1
27I
ds ds'
(Ti. — 7i)
Фі (xi, її)
rfas __ 4y1 (yf 1) sin3 T1
~ds^ — _ (K— 1) [<Ь (ті, Ti)]3
{sh t1t1 - t1 sin z1]
Так как при 0 < t1^tJ ^1 (t1, Ti) и tMxi- — 7i)>°> т0 в этом
ds f/s' d S
интервале изменения t1 0, ^>0; более того,
ds
изменяется монотонно от + 00 ДО + 1 (ПРИ уменьшении t1 от
ds'
d2s
tj до 0 или при увеличении S от 0 до + оо), поскольку -^t5- <^0. Заметим, что
и при t1 асимптоту
0 s' — S —2 (/С — 1), т. е. кривая (8.35) имеет s = s' — 2(К— 1).
Этих сведений достаточно для построения графика функции соответствия (8.35); он приведен на рис. 385.
Аналогично, при 4[л<^(А'—I)2, когда функция соответствия преобразования Efl записывается в виде (8.36), параметр преобразо-
18* 548 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
вания т, также заключен в интервале 0 T1 ^tJ, где tJ— значение параметра t1 для точки s = 0 и определяется теперь уравнением
¦ ^9 Cx1, 7i)= f ^-icht1- T1 sh t1) = 0
(график функции <^2(т, для ^ = и 7=-7,^-1 при-
веден на рис. 386). При эток- при уменьшении t1 от tJ до О
(так же как и в предыдущем случае) s монотонно возрастает от О до -)- оо, s' — от некоторого положительного значения
і 1ч ds Іа (Tl, —Tl) ^
также до -J-оо1); производная -^t- = ' , ,-Vz- монотонно убы-
^s Y2 (т1і Tl)
вает от -)- оо до 1, так как
d*s 4ті(т?— Hsh3t1 , . , ^ _
!її = - (K-I) [*, (іь Ti)]3 < sh * ^i - Ti sh T1 }< О
при О T1 ^tJ. Таким образом, график функции соответствия (8.36) имеет тот же вид, что и график функции соответствия (8.35) (рис. 385).
Перейдем к рассмотрению функции соответствия преобразования ГГ2— функции (8,39). Здесь, для того чтобы перебрать все множество точек полупрямой (s'): (X^sr -)- оо, мы должны изменять параметр преобразования т2 от О до + оо, причем (в отличие от только что рассмотренной функции соответствия преобразования uj) при изменении T2 от О до -)- оо s' монотонно возрастает от
Y _ ]
О до +00, a S1 — от О до (S1)max= '"2 >02)-
') Кривая (8.36) имеет при T1-J-O асимптоту s =s' — 2 (К—1). s) Все сказанное можно усмотреть из следующих элементарных рассуждений относительно хода траекторий в области (Я). Во-первых, так как траектории пересекаться не могут, то при увеличении s' мы будем получать § 5]
ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР С ДВУХЗВЕННОЙ /?С-ЦЕПОЧКОЙ
549
Для доказательства монотонности возрастания s' и s, (при увеличении т2 от 0 до -f со) достаточно вычислить производные
Jjf- И J^i-. Нетрудно видеть, что
dSi «/та
: (? — Ts)
ds'
dx»
'гз (Ti, Ts)
2уа sh» T2 ' dT2 2y2 Sh2 т. ' ^2S1 __ 4y8 (Yl-I)Sh8 T2
ds і ds'
'Ыхз, — Ti)
ds12
TS)]3
1T1S (та, Ys) { sh y2t2 — Y2 sh T2},
где
-Ь т) = 1 — e7t (ch т — Y sh т) = 2 — ^2 (т, y).
Так как Y2 ^>1 и ПРИ 1 T I 1 и т^>0 <Ьз (т. Т) 0 '), то при любых О т2 -[- со
JfL \П Jfl \П n/JfL/l rf2Sl
dz. ^ ' //т. ^u' "^//S'^1'
di
ds'2
<0
при изменении T2 от 0 до -f- со или s' от 0 до -f- со
Hl
ds'
монотонно
Рис. 387.
убывает от 1 до Oj. На рис. 387 изображен график рассмотренной
нами функции соответствия преобразования ГГ2.
3. Диаграмма Ламерея. На рис. 388 построена диаграмма Ламерея — графики функций соответствия преобразований II1 и П2,
также и увеличение S1; при этом большим s' будут соответствовать большие длины дуг траекторий между точками s' и S1 и, естественно, большие времена пробега to (большие т2). Во-вторых, все траектории, выходящие в область (FF) с полупрямой (s'), идут над прямолинейной траекторией^ =— К—X1A:; поэтому S1 < (S1)max, где (S1)max — значение S1 для точки пересечения этой прямолинейной траектории с полупрямой S1. Предельные значения s' и S1 (при T2->-0 и при т2—»--]- со) можно найти, применяя правило Логшталя.
') Для доказательства неравенства достаточно заметить, что ^9 (0, т)=0
И при I ї I > 1 и т > 0 = (¦;' — 1) еIх sh т > 0,
(/"Ca 550 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
нанесенные на общей плоскости (по оси абсцисс отложено s', по оси ординат — s и S1). Эти графики имеют единственную точку пересечения — неподвижную точку преобразования ІГ. Существование неподвижной точки вытекает из непрерывности функций соответствия и выполнения неравенств: S1 — S 0 при s' = so и S1—s<^0 при достаточно больших s', единственность — из неравенств rfSi , ds
ds'
, имеющих
место при любых Sr So и, в частности, в неподвижной точке, которая, следовательно, является устойчивой. Аналитически неподвижная точка преобразования IT определяется системой трансцендентных уравнений:
K-
е T,Tl -f- cos X1 — Yi sin xi_ е ТаТ* — ch х2 -f- Ya sh х2
К— 1 eTlTl
Yi sin x1
cos x1 4- Yi sin x1
2ys sh xs еТ2т2 — ch x2 — Ys shx2
Y1 sin x1
2ys sh ¦
(8.40)
при —l)a и системой
K-
o—TlTl
4- ch x1 — Yi sh x1 _ e Tgt2 — ch x2 4- Ys sh x2
2 Yi sh xi
K—\ eT'T' 4- ch x1 4- Yi sh x1
2 Yi s'1 xi
