Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
11 +у |(Af_i)i_4fi|
Разрешая второе из полученных соотношений относительно s, а затем первое — относительно s', получим функцию соответствия преобразования II1 (при 4[л^>(/С—I)2 ), связывающую s и s', в следующем параметрическом виде:
К — 1 г~,lTl -f cos T1 — Y1 sin T1
2 Y1 sin -C1
К— 1 gT'T' -f cos t1 -f Yi sin T1
Yi sin T1
(8.35)
так как
, и, АГ—1 1л (ХШЖ = P-A1 _ = - і).
') Выражение для s' можно получить и иначе, путем замены в выражении для s: S на — S' и t1 на — t1. В самом деле, пусть
X = Xofl (t) + у of і (t), у = Xof3 (t) -(- у о fi (t)
— уравнение траектории в области (J), проходящей через точки SHS1 (х0, Уо — значения X, у при t — 0), и пусть (^1 >0) — время пробега изображающей точки по этой траектории от точки S до точки S'. Возьмем за начало отсчета § 5] ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР С ДВУХЗВЕННОЙ /?С-ЦЕПОЧКОЙ 545
Аналогично при —1)а, когда корни характеристического
уравнения (8.32) действительные и общее решение уравнений (8.30а) получается из (8.33) заменой тригонометрических функций на соответствующие гиперболические, мы получим для функции соответствия преобразования II1:
_ К— 1 g~7lt' + ChTi-Yi shx,
2 Yishx,
, и _L U ^ (8-36)
, ?71^1+ChT1+YiShT1 I '
2 Yi sh Ti
(значения T1 и ^1 по-прежнему даются выражением (8.34), но теперь
7і>1).
В области (//) уравнения (8.30) могут быть записаны в виде:
W> +.У +У = — К, \
. } (8.306)
х = у. }
Характеристическое уравнение (8.31) для этой системы всегда (напомним, что 0 р. j имеет действительные отрицательные корни X = — A2 ш2, где
, 1 1/1 — 4р.
А» = ^- и U)a— —
2fi 8 2[А
(причем A2^xa2). Следовательно, общее решение уравнений (8.306) может быть записано в виде:
У = - К + е-*«< [-^- sh иу + (у0 + К) (ch <V + -?- sh (J)2/j J, jc=е- ^X0 (ch и),/ — sh (J)2/j — sh (J)2/].
(8.37)
времени тот момент, когда изображающая точка находилась в s (хв=+1, ^0 = К — 1 + s). Тогда при t = ti X = — 1, т. е.
-1=/.('.)+ (K-I+«)/*('.),
откуда
$= 1) = Фі (Zi) •
Воспользуемся произволом в выборе начала отсчета времени и возьмем теперь за момент Z = O тот момент, когда изображающая точка находилась в s' (-V0 = -I, ^0 = -(^-1)+8'). Тогда при t = — ti х= + 1, что дает:
+ 1 = -/i (- ti) - (К - 1 - S')/, (- Zi),
т. е.
1 +M-to
M- <.)
(а:-1)=_Ф1 (_ tl).
Таким образом, s' получается из выражения для s заменой Zi на —t, (или т, на — т,) и дополнительной сменой знака.
18 Теория колебаний 546 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
Пусть при Z = О X = X0 = -I, y=y0 = — (K—l)-}-s', а при
Z = Z2 = -J-0 х = — 1, ^ = -(Af-I)-S1 (Z2-время пробега
изображающей точки по траектории L в области (//) от точки s' до точки S1). Тогда второе соотношение (8.37) дает:
— 1 =e-Yst
где
(ch T2 — ъ Sh T2) — J- (1 + s') sh T2J,
T2 = CD2Z2 и 7?== = w -Д—г > L (8'38)
wS у 1 — 4(i
Разрешая полученное уравнение относительно s', используя соотно-
, COg 1
шение JiCD2 = \xh3 -Ti = -к— и затем заменяя в полученном выражении Zz2
для S': s' на — S1 и т2 на — т2, мы получим функцию соответствия для преобразования II2*):
е—18*8 _ ch X2 + Ya sh T2 Sf2 sh X2
gl2*2 _ ch T2 — 7s sh X2
2y2 sh T2
(8.39)
2. Исследование функций соответствия. Исследование функций соответствия преобразований nt и II2 мы начнем с функции соответствия преобразования nt для случая 4;j. (/С—I)2 (К^> 1), когда состояние равновесия (0, 0) является неустойчивым фокусом, траектории в области (I) — спиралями, раскручивающимися от фокуса, а сама функция соответствия выражается соотношениями (8.35). Так как изображающая точка, двигаясь от точки s до точки s' по дуге спиральной траектории в области (/), совершает менее половины оборота вокруг фокуса (0, 0), то параметр преобразования T1 — приведенное время пробега изображающей точки в области (!) — заведомо удовлетворяет неравенству O^Tj^t:, причем меньшим T1 соответствуют большие S и s'2). Обозначим значение T1, соответствующее s = 0, через tJ; это пограничное значение параметра T1, очевидно, определяется уравнением
Tl) = о,
где
Ii1 (т, 7) = 1 е7Т (cos т — 7 sin т)
') Доказательство указанного способа получения выражения для S1 полностью аналогично доказательству, приведенному в примечании на стр. 544.
а) Это вполне понятно, так как по траекториям с большими у изображающая точка двигается быстрее: чем больше у, тем больше |,ё| (в силу первого уравнения (8.30)) и тем меньше Zi (X1); при у—»- + со х—»- — со и Zi 0. § 5]
ламповый генератор с двухзвенной /?с-цепочкой
547
(график этой функции и графическое решение уравнения для т° приведены на рис. 384; ясно, -чт^ Тогда, изменяя t1
от т° до 0, мы переберем все множество значений s от 0 до + о^; одновременно s' будет также мот нотонно возрастать от некоторого -2' положительного значения
so={K— 1)[
sh Vit;
]>
-J1 sin xj
>2(/Г-1)
также до + оо.
Дифференцируя (8.35), получим:
ds
dzt
ds'
dxj
K-
271
e TlTl (cos T1 Y1 sin T1)__ K— 1 'h (T1, — 7i)
