Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
1. Фазовая плоскость. Точечное преобразование. Так же как и в § 3 настоящей главы, фазовая плоскость х, у рассматриваемой динамической системы (8.30) разбивается прямыми jc == —J— 1 и* = — 1 на три области: (/), (II) и (III), в каждой из которых уравнения (8.30) линейны (рис. 383); при этом траектории являются непрерывными кривыми при переходе через эти границы областей линейности, равно как и на всей фазовой плоскости. Кроме того, разбиение плоскости х, у
') Под S мы понимаем абсолютное значение крутизны падающего участка характеристики і = і (и).
a) Последнее неравенство связано с тем, что в двухзвенных ЯС-цепочках (в генераторе с выключенной лампой, т. е. С K = 0) все процессы являются апериодически затухающими. 542 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
на траектории симметрично относительно начала координат — состояния равновесия (0,0) в силу соответствующей симметрии уравнений (8.30).
Качественное исследование системы (8.30) полностью аналогично исследованию системы (5.89), проведенному в § 12 гл. V. Именно,
ось ординат (x = 0) является изоклиной горизонтальных касательных (там _у=0), а ломаная
У = — X — Ку(х)
— изоклиной вертикальных касательных (на ней Jc = O). В областях (II) и (III) имеются по две прямолинейных траектории где х,2—величины, обратные (и по знаку, и по модулю) корням уравнения
[,X2-I-X+1=0, (8.31)
являющегося характеристическим уравнением системы (8.30) в областях (II) и (ІІГ); поэтому к, и х2 положительны.
Единственное состояние равновесия лежит в области (/) — в начале координат (0,0). Поскольку в области (/) характеристическое уравнение системы (8.30) записывается в виде:
цХ2 — (К— 1)А + 1=0, (8.32)
это состояние равновесия при 1 неустойчиво, являясь при
4іа^>(АТ—I)3 фокусом и при А\>.<^(К—I)2 — узлом1).
') При К < 1 состояние равновесия (0, 0) устойчиво и все траекторий системы асимптотически (при t —*¦ -(- оо) приближаются к нему. § 5] ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР С ДВУХЗВЕННОЙ /?С-ЦЕПОЧКОЙ
543
Далее, так как бесконечность всегда неустойчива, то на фазовой плоскости при 1 имеется по крайней, мере один (и притом
устойчивый) предельный цикл, симметричный относительно начала координат. На основании результатов § 3 настоящей главы можно утверждать, что этот предельный цикл — единственный.
Для отыскания этого предельного цикла сведем задачу к точечному преобразованию. Так как предельный цикл является симметричным1), должен охватывать состояние равновесия (0, 0) и в то же время не может лежать целиком в области (/), то он должен проходить во всех трех областях линейности, пересекая, в частности, прямые JC = —[— 1 и дг =—1. Исходя из этого, возьмем в качестве «отрезка без контакта» полупрямую S: дг ==-)-1, у = К—I-Hs (где s^>0), через точки которой происходит переход фазовых траекторий из области (III) в область (/), и найдем точечное преобразование П этой полупрямой самой в себя, осуществляемое траекториями системы (8.30). Так же как и в § 3, преобразование
где П' — точечное преобразование полупрямой S в симметричную ей полупрямую S1 (дг = —1, у= — (К—1) — S1; S1^-O), осуществляемое траекториями системы (8.30), выходящими из точек полупрямой S. В свою очередь преобразование П' представляется в виде произведения двух преобразований II1 и П3—преобразований полупрямой S в полупрямую S': X = —1, у = —(К—l)-fs' (^^>0), и полупрямой S' в полупрямую S1, осуществляемых траекториями соответственно в областях (1) и (II), т. е.
Нетрудно получить (тем же способом, что и в предыдущих параграфах) параметрические выражения для функций соответствия этих преобразований.
Для вычисления функции соответствия первого преобразования следует обратиться к дифференциальным уравнениям (8.30) в области (/), которые удобно переписать в следующем виде:
Характеристическое уравнение этой системы (уравнение (8.32)) имеет при 4(а^>(Л'—I)2 комплексные корни X = A1Hryui и при 4}а (/Г—1)а — действительные (положительные) корни X = A1 -<- (B1
П = (П')3,
П' = II1-IL
W-(К— l)j> +.V = O, X = у.
(8.30а)
') Доказательство симметричности предельного цикла полностью совпадает с доказательством, проведенным в § 3- настоящей главы. 544 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIIt (^I > (Ui), где
Ai=A^i и /1V-4H =+]/"у
Пусть —I)2. Тогда общее решение уравнений (8.30а) за-
писывается следующим образом:
у — е/ц1 sin _[_^0 ^cos Ші(--sin (O1^jj, j
г"'/ h \ "I ^8'33^
X = е"і< |x0^cos ioj -j- ^ sin Witj — -?- sin (U1Z1J j
(x0, y0— координаты начальной точки при ^ = O; см. § 4 гл. I). Для траектории L, выходящей (будем считать, при ^ = 0) из точки s полупрямой в (8.33) следует положить: X0 = -]- 1, У о = К— 1 -j-s. Пусть ^1 — время пробега изображающей точки по траектории L в области (/) (от полупрямой 5 до полупрямой 5'). Тогда при / = ^>0 х = и у = — (К— l) + s', т. е.
— (К — 1) + s' = e1lTl[sin X1 -j- (К — 1 + s) (cos X1 — Tl sin X1)j, — 1 = en-, j^cos X1 -j- Tl sin X1 — (K — 1 + s) sin X1J,
где
XI = ^1 и Tl = ^=-, (8.34)
