Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
IduA _=(*?) dv J-B = I \ dv L = V
или
1 —е1"11 (cos T1-!f SinT1) _ 1 —е Tt2 (cos ta Y sin t2)
1 — е~~ їт1 (cost1-I-YSin t1) 1 — е1"18 (cos т2 — Y sin т2)
1J Замкнутую кривую ABiBFA на рис. 379, являющуюся границей области притяжения устойчивого фокуса (0, 0), также можно считать неустойчивым предельным циклом, если сделать следующее доопределение закона движения изображающей точки на «отрезке отталкивания» AB; изображающая точка двигается вдоль этого отрезка вправо во всех точках, кроме Bu где она переходит на траекторию B1BFA. В пользу такого доопределения говорит следующее обстоятельство: на фазовой плоскости генератора с характеристикой лампы, аппроксимируемой гладкой непрерывной кривой, сколь угодно близкой к /-характеристике, изоклиной горизонтальных касательных будет непрерывная кривая, близкая к ломаной A1ABB', а неустойчивый предельный цикл будет близок к замкнутой кривой AB1BFA.
2) Если система имеет два решения для T1 и т2, удовлетворяющих неравенствам OCT1Cn, те с т2 с с 2я (случай (в) рис. 374), то, очевидно, для подсчета периода периодических колебаний генератора нужно брать большее из двух значений T1 (и соответственно меньшее для т2). § 5] ламповый генератор с двухзвенной /?с-цепочкой 539
Можно показать, что эта пограничная кривая (кривая (б) на рис. 380) проходит через начало координат плоскости параметров a, 7 и что акр монотонно возрастает при увеличении 7.
4. Случай малых а и у. Найдем приближенные выражения для периода и амплитуды автоколебаний в случае достаточно малых а и T (а> T^1)- Запишем уравнения (8.29) в виде:
ch Yt1 — cos T1 _ ch 7тг — cos та sh YT1 _ _ sh ут8
sin T1 sin T8 ' sin T1 sin Ti
Тогда для случая 7, а 1 имеем:
1 — cos T1_ 1 — cos Ts YTi _ 7х2
sin T1 sin т8 ' sin T1 sin Ts '
откуда т!-)-та = 2іг (следовательно, период автоколебаний равен приближенно 2іг), а т, определяется уравнением
которое имеет действительные решения (и притом два: 0 (T1)1 и у <С (^i)a <Столько при отсюда
акр = 2ltT-
Радиусы предельных циклов (они близки к окружностям), как нетрудно подсчитать, равны:
^ _ Ь _ V2 Ь __У2Ь_
- со. V- ут+ъъ - ^Г^уТГЩ'
причем устойчивому предельному циклу соответствует большее из двух решений для T1 ^y^^i'C11] и знак МИНУС в выражении для радиуса предельного цикла.
§ 5. Ламповый генератор с двухзвенной ?C-цепочкой
Две схемы генератора с двухзвенной /?С-цепочкой (с двойным триодом с катодным сопротивлением и с пентодом в транзитронном режиме) изображены на рис. 381 '). Исследование автоколебаний в них методом изоклин было проведено в § 12 гл. V. Эти же схемы, если считать емкости Ca и Cg малыми, паразитными емкостями, являются схемами мультивибратора с одной /?С-цепью (см. § 7 гл. IV).
') Одна из емкостей Ca или Cg может отсутствовать. 540 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
Для работы обеих схем в качестве генераторов существенно, что характеристика, выражающая зависимость силы тока I от напряже-
-|L+ [ k
Il с 'i +
u f—
I
с„\
-+Ea
Cn
I
Es
Рис. 381.
ния и на управляющем электроде лампы (или ламповой группы), имеет падающий участок. Ниже, как и раньше, мы будем пренебрегать анодной реакцией, т. е. будем считать, что I зависит только от и
(і= і (и)), но в отличие от § 12 гл. V, чтобы иметь возможность применить метод точечных преобразований для исследования генератора, мы будем аппроксимировать эту зависимость кусочно-линейной функцией, график которой приведен на рис. 382. При этом ради дальнейшего упрощения задачи мы будем полагать се-Рис. 382. точное смещение Eg выбран-
ным таким образом, чтобы рабочая точка лампы, соответствующая состоянию равновесия генератора, лежала посередине падающего участка характеристики [59].
Уравнение колебаний рассматриваемого генератора с двухзвенной І^С-цепочкой, как мы видели в § 12 гл. V, можно записать в следующем виде:
lUf = —J; —V — К<?(х), 1
т (8.30)
У = х, J
где л, у ¦ ниями:
и = Eg-{-и 0х,
•переменные, связанные с напряжениями и и v соотноше-
V = En
¦ Ee - RJ (Eg)JrU0 cS- Jf + «о [l + % + f(l + %-)]j» § 5] ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР С ДВУХЗВЕННОЙ /?с-ЦЕПОЧКОЙ
541
(за H0 взята половина «длины» падающего участка характеристики; см. рис. 382);
г-|- 1 при х<^— 1,
<? (X) = ^l і (Eg-^u9Xy-I(Eg)] =
-X При I X I =^ 1,
— 1 при х~^> 1
— приведенная (безразмерная) характеристика лампы (или ламповой группы)'); точкой сверху обозначено дифференцирование по безразмерному времени
_^обыч_
f:
RaiC+ Ca)+ R AC+ Cf,)
са і Cg і Cq Cg
г*-__SRa_ _Ra С С CC
д " С. D / ТГл ' Iх ~р~ г TT O77 СЛ
~с)
— безразмерные параметры a
Заметим, что система уравнений (8.30) эквивалентна уравнению |хл: + [1+/ГТ' (*)]*+ * = <),
т. е. ламповый генератор с двухзвенной /?С-цепочкой при кусочно-линейной аппроксимации характеристики ламповой группы эквивалентен динамической системе, уже рассмотренной в § 3 настоящей главы. Однако, имея в виду подробное рассмотрение колебаний генератора, близких к разрывным (они имеют место при Ca, Cg-^sC1 т. е. при 0<ц<1), мы проведем еще раз краткое исследование этой динамической системы, отправляясь теперь от уравнений (8.30), форма которых более удобна для указанной цели, и ограничиваясь случаем самовозбуждающегося генератора, т. е. полагая, что 1.
