Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Андронов А.А. -> "Теория колебаний " -> 18

Теория колебаний - Андронов А.А.

Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний — М.: Физ-мат литература, 1959. — 916 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyakolebaniy1959.pdf
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 335 >> Следующая


39

являются параметрическими уравнениями фазовой траектории; исключая из этих уравнений t, найдем координатное уравнение траектории:

Нетрудно видеть, что это — уравнение семейства подобных (с постоянным отношением осей) эллипсов, причем через каждую точку плоскости проходит один и только один эллипс'), соответствующий определенному значению К, т. е. определенному классу начальных условий, а именно одним и тем же начальным значениям полной энергии системы. Вся ПЛОСКОСТЬ JC1 у в этом случае заполнена вложенными друг в друга эллипсами, за исключением точки лг = 0, у = 0; «проходящий» через эту точку эллипс сам вырождается в точку (рис. 12).

Все эти эллипсы представляют собой траектории движения представляющей точки. Посмотрим, как будет двигаться изображающая точка по какому-нибудь из этих эллипсов. Легко видеть, что при выбранном нами направлении осей координат движение, представляющей точки будет всегда, по любой траектории, происходить по часовой стрелке, так как в верхней полуплоскости х=у^>0 и лг увеличивается со временем, а в нижней полуплоскости лг=_у<^0 и, следовательно, х уменьшается со временем.

Для того чтобы найти величину фазовой скорости, введем, как это обычно делается в механике, фазовый радиус-вектор

г = ілг -j— Iy.

В таком случае фазовая скорость изобразится в виде:

dr .....

V= ^ = їх+ІУ

или по (1.6) в виде:

V = і {— К<о0 sin ((U0/ + a)} + j {— Кщ cos («V + а)} • (1.9)

Нетрудно видеть, что фазовая скорость, за исключением случая К— 0, никогда не обращается в нуль, так как синус и косинус одновременно никогда 'не обращаются в нуль.

') В других более сложных примерах может случиться, что исключая время t из параметрических уравнений фазовой траектории, мы получим координатное уравнение не одной траектории, а сразу нескольких.

Рис. 12. 40

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. I

Мы исследовали характер фазовой плоскости и обнаружили, что периодическим движениям, происходящим в системе, на фазовой плоскости соответствуют замкнутые траектории представляющей точки — в нашем случае эллипсы, по которым двигается изображающая точка с не обращающейся в нуль фазовой скоростью (рис. 12), совершая



полный оборот в T0 = - единиц времени. Состоянию равновесия

(O0

осциллятора соответствует на фазовой плоскости фазовая траектория, выродившаяся в точку.

Допустим теперь, что нам не известен характер движений в системе, но каким-либо образом стал известен характер фазовых траекторий и величины фазовых скоростей. Можем ли мы, пользуясь этим знанием, делать высказывания, касающиеся отображаемых этими кривыми движений? Как мы увидим дальше, общий характер движения, качественные его черты, выявляются уже в характере фазовых траекторий. Фазовая плоскость, разбитая на траектории, дает легко обозримый «портрет» динамической системы; она дает возможность сразу, одним взглядом охватить всю совокупность движений, могущих возникнуть при всевозможных начальных условиях.

Мы получили для рассматриваемого случая гармонического осциллятора картину на фазовой плоскости, исходя из готового решения (1.6) уравнения осциллятора. Можно, однако, не пользуясь этим решением, непосредственно из уравнения (1.1) вывести заключения о движении изображающей точки на фазовой плоскости. Именно этот второй путь и представляет особый интерес, так как он позволяет вывести известные заключения о характере движения без знания аналитических выражений интегралов исходного уравнения и, следовательно, применим и в тех случаях, когда такие аналитические выражения, подобные (1.6), не могут быть найдены.

2. Уравнение, не содержащее времени. Чтобы от исходного уравнения (1.1), не интегрируя этого уравнения, непосредственно перейти к картине на фазовой плоскости, поступим следующим образом. Заменим исходное уравнение второго порядка двумя эквивалентными уравнениями первого порядка:

dx dy 2 /1 і п\

ж=У> In=-^x- (1Л0>

Деля одно из этих уравнений на другое, получим дифференциальное уравнение

dy х /,их

Это уравнение определяет так называемые интегральные кривые — кривые, в каждой точке которых касательная имеет наклон

^угловой коэффициент вычисляемый по уравнению (1.11). Мы

видим, что, в то время как зависимость х от / выражается дифференциальным уравнением второго порядка (1.1), зависимость у от л- ПОНЯТИЕ О ФАЗОВОЙ плоскости

41

выражается дифференциальным уравнением первого порядка. Проинтегрировав уравнение (1.11), мы получили бы уравнение интегральных кривых уже не в дифференциальной, а в конечной форме. В данном, простейшем случае интегральные кривые, как нетрудно видеть, совпадают с фазовыми траекториями. Однако в дальнейшем нам придётся различать интегральные кривые и фазовые траектории, так как может случиться, что одна интегральная кривая состоит не из одной, а сразу из нескольких фазовых траекторий.

3. Особые точки. Центр. Уравнение (1.11) непосредственно определяет в каждой точке плоскости единственную касательную к соответствующей интегральной кривой, за исключением точки х — = 0, у = О, где направление касательной становится неопределенным. Как известно из обычной теории дифференциальных уравнений, через те точки, для которых соблюдаются условия теоремы Коши ') (в числе последних имеется условие, что дифференциальное уравнение даег определенное направление касательной к интегральной кривой), проходит одна и только одна интегральная кривая; относительно точек же, в которых направление касательной становится неопределенным и в которых, следовательно, условия теоремы Коши не соблюдаются, уже нельзя утверждать (на основании этой теоремы), что через них проходит одна и только одна интегральная кривая. Такие точки, в которых направление касательной неопределенно, носят название особых точек данного дифференциального уравнения. Однако теорема Коши не дает права утверждать, что через особую точку проходит больше или меньше одной интегральной кривой (т. е. либо ни одной кривой, либо много). Но для тех простейших особых точек (особых точек первого порядка), с которыми нам придется главным образом сталкиваться, это обратное утверждение оказывается правильным. Именно, как мы убедимся при рассмотрении этих особых точек, через особую точку первого порядка либо не проходит ни одной, либо проходит больше чем одна интегральная кривая.
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 335 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed