Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Для единственного состояния равновесия, очевидно, имеем:
U = Eg,
V = Ea-RJ (Eg)-Eg.
Рис. 284. Для упрощения уравнений
введем новые переменные .V, у, пропорциональные переменным составляющим напряжений на сетке и на конденсаторе С,
U = EgJr щх, v = Ea — Rai (Eg) -EgJr аи0у,
новое, безразмерное время tHoa = Ttcr и приведенную, безразмерную характеристику
9 (¦*) = тЛ [< (Eg + «о*) — 1 (?«)]. § 12] приближенные методы интегрирования
389
где M0 и T—некоторые масштабы напряжения и времени, а — безразмерный коэффициент и S — абсолютное значение крутизны характеристики в «рабочей точке», соответствующей состоянию равновесия [S =— при U = Eg]. Тогда уравнения (5.88) примут вид:
^y = Xl ^x = RaS9 (X) - 11 + Ij- (1 + ?)J X - ау
(точкой вверху обозначено дифференцирование по новому, безразмерному времени). Выбрав
^1+?!1+? И т= CRS + с«> R°> мы приведем уравнения (5.88) к следующему безразмерному виду: у = х; (.иг = —у — jc — K<f(x) (5.89)
с двумя (безразмерными) параметрами
" —RqCl 1 K =-pSfa r . (5.90)
(коэффициент усиления K^ 0, а положительный параметр р., по порядку величины обычно совпадающий с Q/C, не превышает l/t)г).
Единственное состояние равновесия лежит теперь (на плоскости .г, у) в начале координат; характеристическим уравнением для него, как нетрудно видеть, является квадратное уравнение
ух» +(1-/0 X+1=0, (5.91)
ибо по определению функции ср (х): ср'(О) = —1. Поэтому это состояние равновесия устойчиво при К<^ 1, неустойчиво при К^> 1, является фокусом при (К—1)2<^ 4(J. и узлом при (К—l)3^ ^l1 (на рис. 285 приведено разбиение плоскости параметров p., К на области, соответствующие различным типам состояния равновесия).
Бесконечность в подобных схемах всегда неустойчива. В самом деле, при больших (по абсолютному значению) напряжениях и мы попадаем на горизонтальные участки характеристики, где і или ср (х) постоянны. Поэтому в далеких областях схема ведет себя как линейная, имеющая состояние равновесия типа устойчивого узла, и следовательно, все фазовые траектории приходят из бесконечности в
') К уравнениям (5.89) приводятся уравнения колебаний генераторов с Л'С-цепочками, схемы которых получаются из изображенных на рис. 283 подсоединением к сеточному узлу (к узлу управляющего электрода лампы или ламповой группы) еще одного конденсатора (конденсатор Ci может быть исключен). Эти уравнения при fx < 1, р- < К— 1 описывают также и колебания мультивибратора с одной ЯС-цепью (см. § 8 гл. IV), отображая существенную роль малых, паразитных емкостей (например, паразитной емкости C1). 390
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. ¦ V
область конечных лг, у'). И если в начале координат лежит неустойчивое состояние равновесия (это имеет место при тона фазовой плоскости существует по крайней мере один устойчивый предельный цикл. Для случая характеристики <р (лг) с монотонно убывающей (по абсолютной величине) крутизной (при удалении от «рабочей точки») этот предельный цикл будет единственным2).
Для отыскания этого предельного цикла можно применить, например, метод изоклин 3). Разделив первое уравнение (5.89) на второе, мы получим дифференциальное уравнение интегральных кривых:
dy
ЦХ
dx
у + х+К<і(ху
(5.92)
уравнением изоклины (с наклоном касательной к интегральным кривым, равным х) будет:
У-
X-Ky(X). (5.93)
Рис. 285.
В
тельных (x = ^ = oj является ось у (ось ЛГ = 0),
частности, изоклиной горизонтальных каса-dy_
,-dJ..
а изоклиной вертикальных касательных ^x =^ =
у = — X — ATtp (х).
: OO
кривая
(5.93а)
Предельные циклы, а также некоторые другие фазовые траектории, построенные при помощи метода изоклин, изображены на рис. 286— 289. Построения даны для характеристики
2_ 3
лг ¦
_2 3
при ЛГ:
1,
-g- ПРИ
при лг
ЛГ I
(5.94)
') Строго говоря, сказанное выше доказывает неустойчивость бесконечности по всем направлениям, кроме направления вдоль оси у. Однако нетрудно убедиться, что в этом направлении экватор сферы Пуанкаре не содержит особых точек вообще, и поэтому бесконечность не может быть устойчивой и в этом направлении.
2) При К < 1, когда начало координат—устойчивое состояние равновесия, предельных циклов не существует (в этом легко убедиться, применяя, например, критерий Бендиксона) и все фазовые траектории асимптотически (при t — -f оо) приближаются к состоянию равновесия.
3) Позже, в §5 гл. VIII, мы найдем предельный цикл для случая кусочно-линейной характеристики методом точечного преобразования. § 12]
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
391
(падающий участок характеристики аппроксимирован симметричной кубической параболой) и для различных значений, параметров \х и К-В областях л;^>-)-1 и —1 уравнения (5.89) линейны и имеют прямолинейные фазовые траектории_у = у.*х -)- 2/3 К (в области 1)
и у = у.*х — 2/з К (в области х<^—1), где х* — корни уравнения у.2 —|— X —|— [л = 0. Этим обстоятельством можно воспользоваться для построения цикла без контакта, содержащего внутри себя предельный цикл. Этот цикл без контакта (кривые ABCDEFA на рис. 286—288) составляется из фазовых траекторий ABC и DEF и вертикальных отрезков прямых CD и FA.
