Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
построение, мы получим последовательность точек Р, P1, P2, P3, P4.....
через которые и проведем интегральную кривую, проходящую через точку Р. Подобным образом мы можем продолжать построение этой интегральной кривой и нанести на фазовую плоскость ряд других интегральных кривых. В результате мы получим, правда, приближенный, но достаточно подробный фазовый портрет исследуемой конкретной системы (имеющей определенные значения параметров). По этому портрету мы сможем судить, устанавливаются ли при данных значениях параметров автоколебания в системе, каких наибольших значений достигают х и у при этих колебаниях и т. д. Однако по этому портрету, построенному для определенных значений параметров системы, мы не можем судить о том, как изменяется поведение системы при изменении того или иного из ее параметров. Для ответа на этот вопрос нужно построить целую «галерею» фазовых портретов, соответствующих различным значениям того параметра, влияние изменений которого мы хотим проследить.
Типичным примером, иллюстрирующим применение метода изоклин, может служить произведенное Ван-дер-Полем [188, 189] исследование фазовой плоскости уравнения
V — ? (1 — Vі) V -j- V = 0.
13 Теория колебаний 386 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА [гл. ¦ V
Это уравнение характерно (конечно, при соответствующих идеали-зациях) для ряда автоколебательных задач. Например, к этому уравнению может быть приведено уравнение колебаний лампового гене-
ратора в случае кубической характеристики лампы; сам Ван-дер-Поль интересовался этим уравнением в связи с теорией колебаний симметричного мультивибратора, в цепи которого введены самоиндукции. § 12] приближенные методы интегрирования 387
Записав уравнение второго порядка в виде системы двух уравнений первого порядка:
%=У> ? = - + -(1-^
и деля затем одно уравнение на другое, получим уравнение первого порядка—уравнение интегральных кривых:
dv 4 У
Придавая параметру є определенные положительные числовые значения и применяя метод изоклин, Ван-дер-Поль получает «фазовую портретную галерею», изображенную на рис.282 (а, б, в относятся соответственно к случаям малых, средних и больших значений є). При помощи этой галереи можно судить о том, как изменяется характер движения в системе при изменении параметра е. Состояние равновесия системы (0,0) при е^>0 всегда неустойчиво (при0<^е<^2 — неустойчивый фокус, при е>2—неустойчивый узел). Все портреты содержат единственный предельный цикл, следовательно, при всех значениях е^>0 в системе происходит установление автоколебательного режима, причем установление автоколебаний является мягким (одни и те же автоколебания устанавливаются при любых начальных условиях). Но размахи и форма этих автоколебаний, а также характер их установления в разных случаях различные. При малых положительных є предельный цикл близок к окружности (автоколебания близки к синусоидальным), остальные фазовые траектории суть спирали, медленно скручивающиеся к предельному циклу (рис. 282, а). При возрастании є
увеличиваются размахи величины у = ^y форма автоколебаний становится все более и более отличной от синусоидальной (предельный цикл имеет форму, все более и более отличную от окружности, рис. 282, б и в)\ наконец, начальное нарастание колебаний (из начальных состояний, близких к состоянию равновесия), осцилляторное при малых є (при є 2), становится апериодическим при больших є (при є 2)1).
В качестве второго примера приведем построение методом изоклин фазовых портретов лампового генератора с двухзвенной /?С-цепочкой.
х) Необходимо подчеркнуть, что, вообще говоря, форма автоколебаний не связана с характером особой точки, лежащей внутри соответствующего предельного цикла. Поэтому ту связь между формой автоколебаний и характером особой точки, которая обнаружилась в случае уравнения Ван-дер-Поля, не следует обобщать на какие-либо другие автоколебательные системы (например, на ламповый генератор с другими характеристиками лампы).
Заметим также, что кубическая характеристика может удовлетворительно передавать форму реальной характеристики лампы только в области между точками, в которых крутизна кубической характеристики обращается в нуль. Если колебания выходят за пределы этой области, то в поведении рассматриваемой математической модели могут появиться черты, вовсе не характерные для реальных ламповых генераторов.
13» 388
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. ¦ V
Две схемы такого генератора (с двойным триодом и с лампой в тран-зитронном режиме) приведены на рис. 283. Уравнения обеих схем, полученные на основании законов Кирхгофа, при обычных наших
предположениях (при пренебрежении, в частности, сеточными токами и анодной реакцией) имеют в обозначениях рис. 283 следующий вид:
cS = ^f-' ^ = '!") + ?+??!!, (5.88)
где і = і (и)— характеристика ламповой группы (или лампы в транзи-тронном режиме); для работы схем как автоколебательных систем
существенно, что эта характеристика (рис. 284) имеет падающий участок, на котором крутизна отрицательна.
