Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
d R
с радиусами R^Ri и R^ Ri, так как при R^Ri и при
d R
RlS^Ri z^O, и единственный предельный цикл расположен
между окружностями радиусов Ri и Ri. Если же 4ас?<^(й-[-с)а, то величина Ri оказывается мнимой, циклами без контакта среди кривых рассматриваемой топографической системы будут только окружности
с радиусами R^Ri ^на них, по-прежнему, ~ ^oj и предельный
цикл лежит внутри окружности радиуса Ri').
Таким образом, в зависимости от параметров уравнений (5.87) мы будем иметь один из разобранных выше случаев. Области существс-
') В последнем случае циклы без контакта, вне которых лежит предельный цикл, можно найти среди эллипсов
by2 + (а — d) ху — CXi = const. § 12] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 383
вания каждого из них, изображенные на плоскости параметров о и Д, даны на рис. 280.
В заключение параграфа заметим еще следующее. Для частных видов дифференциальных уравнений типа (5.1) иногда удается доказать наличие или отсутствие предельных циклов при помощи соображений, специфичных для данного уравнения, не опираясь на общую теорию. Такой анализ, представляющий большой физический интерес, был дан, например, Льенаром [174] для уравнения катодного генератора при некоторых упрощающих соображениях о симметрии характеристики.
§ 12. Приближенные методы интегрирования
Как уже неоднократно указывалось, до сего времени не существует регулярных методов интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений в общем виде, а вместе с тем и строгих методов построения фазового портрета исследуемой нелинейной динамической системы. Поэтому для исследования конкретной динамической системы часто наиболее простым (а иногда и единственным) является метод приближенного графического интегрирования, т. е. метод построения приближенного фазового портрета данной динамической системы. Конечно, метод графического интегрирования, как и другие подобные методы, требует задания определенных численных значений для всех параметров системы или в лучшем случае заданий численных значений комбинаций из этих параметров. Это — существенный недостаток всяких методов численного интегрирования, ограничивающий общность результатов и затрудняющий обозрение всей проблемы в целом. Поэтому там, где возможно применение аналитических методов, может быть даже и сложных, их всегда следует предпочесть методам численного интегрирования. Однако к рассматриваемым нами проблемам аналитические методы исследования могут быть применены только при известных ограничивающих условиях, которые не могут быть соблюдены в ряде автоколебательных устройств, в. частности в таких устройствах, которые не содержат обычных колебательных контуров. Это и есть один из тех случаев, когда метод приближенного графического интегрирования оказывается единственно возможным. Наиболее подходящим для наших целей приемом приближенного
й
Ill Ш і W Hl ШтШІ и I
—
.. . її -
Рис. 280. 384
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. ¦ V
графического интегрирования является метод изоклин. Суть этого метода заключается в следующем '). Поведение рассматриваемых нами
с=о с--цг с =-о,4 C=-Os ; і її' с=-і
C=-IO
C--I C=-O1S
C=-OA C=-OiZ Рис. 281.
C=O
С=0.5 C=I
систем после исключения времени описывается одним нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка:
л <">
Кривые f(x, у) = C на фазовой плоскости представляют собой геометрическое место таких точек, через которые все отыскиваемые нами интегральные кривые проходят под одним и тем же ¦ углом
') Мы ограничиваемся очень кратким изложением метода изоклин, так как метод этот достаточно широко распространен и описание его легко найти в литературе. См., например, [110]. § 12]
приближенные методы интегрирования
385
к оси абсцисс, именно под углом, тангенс которого равен С. Поэтому кривые /(лег, у) = C и носят название изоклин (кривых равного наклона). Придавая С различные численные значения (значения параметров системы, входящих в уравнение (5.3), также должны быть численно заданы), мы можем построить на фазовой плоскости семейство изоклин разыскиваемых интегральных кривых (рис. 281). Для каждой из изоклин известен тот наклон, который имеют все интегральные кривые, пересекающие данную изоклину, и поэтому мы можем на каждую изоклину нанести отрезки касательных к интегральным кривым, проходящим через эту изоклину. Ясно, что точки пересечения двух или нескольких изоклин суть особые точки, так как в них направление интегральных кривых становится неопределенным.
Построив достаточно густое поле изоклин, можно приступить к построению приближенного фазового портрета. Начнем построение с интегральной кривой, проходящей через какую-либо точку P фазовой плоскости. Пусть точка P лежит на изоклине C= 0. Проводим из нее два отрезка: один в направлении касательной, соответствующей изоклине C=O, а другой в направлении касательной, соответствующей соседней изоклине C= — 0,2, до пересечения их с этой соседней изоклиной. Получаем точки а и b и лежащую между ними точку P1 принимаем за точку нашей интегральной кривой. Из точки P1 проводим две прямые под углами, соответствующими изоклинам C= — 0,2 и C=—0,4, до пересечения с изоклиной C = — 0,4. Точка P2, лежащая посредине между с и d, будет третьей точкой отыскиваемой интегральной кривой. Продолжая дальше подобное
