Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Связь между типами состояний равновесия и характером корней характеристического уравнения может быть представлена наглядно следующим образом. Введем обозначения:
» = —(а + «0. д =
а b с d
Тогда характеристическое уравнение запишется в виде
Xа-f оХ-f Д = 0. (5.24)
Для различных о и Д будем иметь различные корни X1 и X2. Рассмотрим
плоскость с прямоугольными декартовыми координатами о и Д и отметим на этой плоскости области, соответствующие тому или другому характеру состояния равновесия (рис. 223).
Рис. 222.
Рис. 223.
Условием устойчивости состояния равновесия является, как нетрудно видеть, наличие отрицательной действительной части у X1 и X2. Необходимым и достаточным условием для этого являются неравенства з^>0; Д^>0. На нашей диаграмме этому условию соответствуют точки, расположенные в первой четверти. Особая точка будет типа фокуса, если X1 и X2 комплексны. Этому условию удовлетворяют те 302 динамические системы первого порядка [гл, iv
точки плоскости а, Д, для которых а2 — 4Д<^0, т. е. точки, лежащие между ветвями параболы аа = 4Д. Точки полуоси а=:0, Д^>0 соответствуют состояниям равновесия типа центра. Аналогично X1 и X9 будут действительны, но разных знаков, т. е. особая точка будет типа седла, если Д<^0, и т. д. В итоге мы получим диаграмму разбиения плоскости параметров а, Д на области, соответствующие различным типам состояний равновесия (рис. 223). Если коэффициенты линейной системы а, Ь, с, d зависят от некоторого параметра, то при изменении этого параметра будут меняться соответственно а и Д. На плоскости а, Д мы будем иметь, таким образом, некоторую кривую, переходящую при некоторых бифуркационных значениях параметра из одной об-ласти.в другую. На диаграмме видно, как могут происходить такие переходы. Если исключить особые случаи (прохождение через начало координат), то нетрудно видеть, что седло может перейти в узел, устойчивый или неустойчивый; устойчивый узел может перейти либо в седло, либо в устойчивый фокус, и т. д. Заметим (это нам понадобится в дальнейшем), что случай равных корней (а9 — 4Д = 0) соответствует границе между узлами и фокусами. Если коэффициенты линейной системы зависят от двух параметров, то обычно бывает целесообразно построить плоскость этих параметров и на ней построить диаграмму, соответствующую только что рассмотренной.
§ 3. Примеры линейных систем
Для иллюстрации всего сказанного выше относительно типов состояний равновесия линейных систем мы рассмотрим две схемы, которые при соответствующих упрощающих предположениях описываются линейными дифференциальными уравнениями и в которых путем изменения параметров может быть получен любой тип равновесных состояний.
1. Малые колебания динатронного генератора. Эту схему мы уже рассматривали в гл. I (§ 7, п. 2) как пример системы с «отталкивающей» (при RS0 ^>1) силой. Рассмотрим теперь малые колебания вблизи состояния равновесия динатронного генератора, когда рабочая точка лежит на падающем участке характеристики тетрода. Для этой схемы было получено (см. уравнение (1.76)) следующее линейное дифференциальное уравнение второго порядка:
LC%g + [RC-LSt]% + [l—RSt]u = 0
или, если ввести безразмерное время *нов = W0*, где со0
безразмерные параметры г= M0RC, s = M0LS0,
U -(- (г — s) гї —1 (1 — rs)tt = 0
(здесь точкой вверху обозначено дифференцирование по новому безразмерному времени).
1
ylc '
(5.25) примеры линейных систем
303
Корни характеристического уравнения
X2+ (г — s)X + (l — rs) = 0, (5.26)
а следовательно, и тип рассматриваемого состояния равновесия зависят от параметров схемы г и s. Для отображения этой зависимости мы построим на плоскости этих двух безразмерных параметров (в ее первой четверти) области, соответствующие различным типам состояния равновесия динатронного генератора на падающем участке характеристики (рис. 224).
При г«^>1,т. е. над гиперболой rs=l, корни характеристического уравнения (5.26) действительны и разных знаков, т. е. состояние равновесия является седлом. Корни характеристического уравнения комплексны при
(,._*)« <4 (І-«) или (г -j- s)2 4,
т. е. под прямой т -j- S = 2 лежит область значений параметров, при которых состояние равновесия — фокус. В области значений параметров между этой прямой и гиперболой rs = 1 состояние равновесия — узел. Устойчивость узла или фокуса, как мы видели, определяется знаком коэффициента характеристического уравнения при X в первой степени: именно, при r^>s узел или фокус устойчив, а при r<^s неустойчив. Таким образом, отрезок прямой г = S до пересечения с гиперболой гS = 1 и затем участок гиперболы справа от этой точки пересечения составляют границу области устойчивости генератора. Если состояние равновесия неустойчиво, то динатронный генератор уйдет из окрестности этого состояния равновесия. Однако, пользуясь линейным уравнением, мы ничего не сможем сказать о режимах, которые установятся в генераторе.
2. «Универсальная» схема. Вторым примером общей линейной системы может служить так называемая «универсальная» схема [125], приведенная на рис. 225, или ей эквивалентная (рис. 226), конечно, при условии соответствующей ее идеализации и в частности «линеаризации». Именно, мы будем считать, что характеристики как первой, так и второй лампы прямолинейны. Это предположение, как мы уже неоднократно указывали, имеет смысл только для небольших областей
