Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Как мы уже знаем, особая точка типа седла неустойчива. Переходя теперь обратно к координатам х, у, мы получим в силу уже много раз использованных соображений ту же самую качественную картину характера траекторий вокруг начала координат (рис. 218). Как и в предыдущем случае, угловые коэффициенты прямых, проходящих через особую точку (сепаратрис седла), даются уравнением
Ьч? -[- (а — d) ч — с = 0.
Пограничным между рассмотренными случаями узла и седла является случай, когда один из корней характеристического уравнения (5.6)
') Каждая из таких интегральных прямых, проходящих через начало координат, состоит из трех фазовых траекторий системы уравнений (5.11): из двух движений к состоянию равновесия (или от состояния равновесия) и из состояния равновесия. 298
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ перВОгО ПОРЯДКА
[гл, iV
(пусть X1) обращается в нуль, что имеет место при ad — be = 0. В этом случае коэффициенты правых частей уравнений (5.4) пропор-
своими состояниями равновесия все точки прямой ах by = Q. Остальные интегральные прямые составляют семейство параллельных прямых
с угловым коэффициентом с
Xi = -j-, по которым изображающие точки либо приближаются к состояниям равновесия, либо удаляются от них в зависимости от знака второго корня характеристического уравнения Xs = а 4" (рис. 219)
3) X1 и X3 — комплексные сопряженные. Нетрудно видеть, что тогда при действительных X и у мы будем иметь комплексно сопряженные E и TJ. Однако, вводя еще одно промежуточное преобразование, легко можно и в этом случае свести рассмотрение
= O1-^jb1, Ь=1 Xi=U1-Jb1, 7):
Рис. 219.
\ = и— jv, J
(5.19)
') На рис. 219 изображен тот случай, когда a-j-d>0 и состояния равновесия устойчивы. § 2] линейные системы общего типа
299
к действительному линейному однородному преобразованию. Положим где O1, bv и, V—действительные величины. Тогда можно показать, что преобразование от х, у к и, v является при наших предположениях действительным, линейным, однородным, с детерминантом, отличным от нуля.
В силу уравнений (5.19) имеем:
ft + J ft ==--(^+Jbi) (п +Jv), du . dv , -,4/ .ч
Ъ-1 Tt = ^-jb^n-jv^
откуда
~ = oj« — bxv\ - = UlV^blIi. (5.20)
Для исследования этой системы дифференциальных уравнений рассмотрим прежде всего вид интегральных кривых на фазовой плоскости. Дифференциальное уравнение этих кривых
dv O1V + byu (5 21)
du а,и — btv ^ ' '
легче интегрируется после перехода к полярной системе координат. Именно, в полярной системе г, <р после подстановки M=T COSip, V = г sin <р получим:
dr_ol
d9~~ ?, '
откуда
в
r = CeF<f. (5.22)
Таким образом, мы видим, что на фазовой плоскости и, v мы имеем дело с семейством логарифмических спиралей, каждая из которых имеет асимптотическую точку в начале координат. Начало координат — особая точка типа фокуса (рис. 220).
Установим характер движения изображающей точки по фазовым траекториям. Умножая первое из уравнений (5.20) на и, второе на v и складывая, получаем:
lg = alP, где р = + (5.23)
Таким образом, при ci1 0 (^j = ReX) изображающая точка непрерывно приближается к началу координат, не достигая его, однако, в конечное время (так как это противоречило бы теореме Коши), и значит, при Ci1 0 мы имеем дело с устойчивым фокусом.
Если же oj 0, то изображающая точка непрерывно удаляется от начала координат; мы имеем дело с неустойчивым фокусом. 300 динамические системы первого порядка [гл, iv
При переходе от плоскости и, V к исходной фазовой плоскости X, у спирали также останутся спиралями, однако будут деформированы (рис. 221) *).
Рис. 220. Рис. 221.
При O1 = 0 фазовыми траекториями на плоскости и, v будут окружности н2 Vі = const, которым на плоскости х, у соответствуют эллипсы
by2 (а — d) ху — ex1 = const
(заметим, что ^1 = O имеет место при = —в этом случае
мы имеем дело с особой точкой типа центра (рис. 222).
Сформулируем теперь результаты нашего исследования. В рассматриваемой общей линейной системе в случае отсутствия вырождения (т. е. при ad — be ф 0) могут быть шесть типов состояний равновесия в зависимости от характера корней характеристического уравнения:
1) Устойчивый узел (X1 и X2 действительны и отрицательны).
2) Неустойчивый узел (X1 и X2 действительны и положительны).
3) Седло (X1 и X2 действительны и разных знаков).
4) Устойчивый фокус (X1 и X2 комплексны и Re X 0).
5) Неустойчивый фокус (X1 и X2 комплексны и ReX^>0).
6) Центр (X1 и X2 мнимые).
') На плоскости ы, v окружности и" v2 = const являются так называемыми «циклами без контакта», т. е. такими замкнутыми кривыми, которые пересекаются фазовыми траекториями (без точек соприкосновения). Эти окружности при переходе на плоскость х, у преобразуются в эллипсы
by2 (а — d) ху — ex3 — const,
которые, следовательно, будут являться циклами без контакта для фазовых траекторий системы уравнений (5.4) в случае особой точки тина фокуса. § 2]
линейные системы общего типа
301
Первые пять типов состояний равновесия являются «грубыми»: их характер не изменяется при достаточно малых изменениях правых частей уравнений (5.4) (малыми должны быть изменения не только правых частей, но и их производных первого порядка). у
